因数分解の見分け方と仕組みについて

質問

因数分解の見分け方を教えて下さい

(1) x^2＋2x―80

(2) 2x^2＋5x―3

(1)はたすき掛けで、掛けて8、足して＋2となる組み合わせと調べました。

(2)2x^2と最初に出てくる問題の時は、(1)みたいなたすき掛けの見分け方が出来なかったです。

(2)みたいな2x^2の時は、どうゆうふうにたすき掛けで見分け方が出来るのか、そして仕組みを教えて下さい！

お手数ですが、詳細な回答解説よろしくお願い致します！

回答No.7

noname#252159 · ベストアンサー

因数分解とは、積の形、つまりかけ算の形に式を変形することです。
図のように、それぞれの係数を
ax^2 +bx c
とします。この2次式を
(○x + △)(●× + ▲)
と積の形にするのですからa= ○x●、c= Δ x ▲です。

(1) について、a=1 ですから、○= 1、 ●=1 以外は整数の範囲で考える必要はありません。
【優先順位1】
c= Δ x ▲
となる組み合わせΔ と ▲を先に考える。
その考えた組み合わせで
b=Δ + ▲
となるΔと▲を探していくのです。

(2)について。
「たすき掛け」をするにも下準備が必要となります。
a=○ x ● となる○と●、c=Δx▲となるΔと▲を調べていくのです。
○×▲ と ●×Δ とたすき掛けをします。マイナスの符号をあっちにつけたり、こっちにつけたりとしながら、bの値となるように調整していくのです。
　そして、
b=○×▲ + ●×Δ
となればOKです。
(○x+△) (●x+▲)
で完成です。

~~
基本は『cとなる積の組み合わせ、そしてbとなる和の組み合わせ』です。

お礼

親切丁寧な回答解説ありがとうございました！

回答No.8

178-tall

>因数分解の見分け方を教えて下さい

いちいち見分けるのはメンドウ…なら、一つ覚えでも。

(1)
x^2 + 2x - 80 = (x-1)^2 - 1 -80 = (x-1)^2 - 81
= (x - 1 + 9)(x - 1 - 9) = (x + 8)(x - 10)

(2)
2x^2 + 5x - 3 = 2{ x^2 + (5/2)x - (3/2) } = 2[ { x+(5/4) }^2 - (25/16) - (3/2) ]
= 2{ { x+(5/4) }^2 - (49/16) } = 2{ x + (5/4) + (7/4) }{ x + (5/4) - (7/4) }
= 2(x + 3){ x - (1/2) } = (x + 3)(2x - 1)

お礼

親切丁寧な回答解説ありがとうございました！

補足

(1) (x-1)^2 - 1 -80 = (x-1)^2 - 81
= (x - 1 + 9)(x - 1 - 9)

(2)  2[ { x+(5/4) }^2 - (25/16) - (3/2) ]
= 2{ { x+(5/4) }^2 - (49/16) } = 2{ x + (5/4) + (7/4) }{ x + (5/4) - (7/4) }
= 2(x + 3){ x - (1/2) } = (x + 3)(2x - 1)

回答解説ありがとうございます。
途中でなぜ、この展開になるのか解らないのでお手数ですが、教えて下さいよろしくお願い致します！

回答No.6

noname#222520

ANo.2の補足です。

一般的な因数分解した形を、(ax+b)(cx+d)とすると、これを展開して、
(ax+b)(cx+d)
=acx^2+(ad+bc)x+bd

これと実際の式を比較して、ac=2、bd=-3、ad+bc=5になるように、aとbとcとdを決めるということです。
2=2*1｛(-2)*(-1)としても同じことです。｝、-3=3*(-1)または(-3)*1
aとcは逆になっても差し支えないので、a=2、c=1とします。
よって、ad+bc=2d+b=5
これを満たすのは、b=-1、d=3のときなので、(2)の因数分解の結果は、
(2x-1)(x+3)になります。

また、(1)では、a=c=1、bd=-8=8*(-1)または(-8)*1または4*(-2)または(-4)*2になり、
このうち、ad+bc=d+b=2になるのは、b=4、d=-2のときなので、因数分解の結果は、
(x+4)(x-2)になります。

なお、(1)と(2)を比較すると、(1)の方がbdの候補が多いので、慣れれば(2)の方が簡単です。

お礼

親切丁寧な回答解説ありがとうございました！

回答No.5

kichikuma

>どうゆうふうにたすき掛けで見分け方が出来るのか、そして仕組みを教えて下さい！

どういう風にですね。

(1)では、x^2の前は1だから、1×1としたんですよね？

(2)では、x^2の前は2だから、1×2と(-1)×(-2)しか組み合わせはありません。

同じように-3については、1×(-3)と(-1)×2しか組み合わせはありません。

全ての組み合わせでたすき掛けにかけ算をして足すことで、xの前の数字の前のものと同じになるものが正解です。

たすき掛けは、わかる人には分かって、わからない人にはわからないようなイメージがあるかもしれないですが、誰でも必ず出来る方法です。

わかる人は、いちいち試しに書き出さなくても頭の中で無意識に試して答えがわかります。

わからない人でも、全ての可能性を試せばその中に必ず答えがあります。

学校では教えてもらえなかったと思います。

さらに、毎回全て書き出さなければいけないのか？と言う疑問が出ると思いますが、問題を数多くこなせば、パターンで覚えますよ。

お礼

親切丁寧な回答解説ありがとうございました！

回答No.4

shintaro-2

>(2)みたいな2x^2の時は、どうゆうふうにたすき掛けで見分け方が出来るのか、そして仕組みを教えて下さい！

何度も言いますが、
教科書、NHKの高校数学、進研ゼミのwebサイト等で勉強してください。

2x^2＋5x―3の場合は、
２(x^2＋5x/2―3/2）として
足して5/2、掛けて-3/2を考えることになります。
それを考えるのが面倒だったら、
解の公式に入れて答えを求め、
それを使って因数分解の形にします。

お礼

親切丁寧な回答解説ありがとうございました！

回答No.3

asuncion

(2)の別解
2x^2 + 5x - 3 = 0という2次方程式を考える。
簡単に因数分解できそうにないと判断したら、解の公式を使って解いてみる。
x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4 = (-5 ± 7) / 4 = 1/2, -3
ということは、(x - 1/2)(x + 3)と因数分解できることになる。
x^2の係数を元の式と合わせるために、x - 1/2を2倍してみる。2x - 1
(2x - 1)(x + 3)を展開すると元の式になるので、これが答え。

お礼

親切丁寧な回答解説ありがとうございました！

回答No.2

noname#222520

x^2の係数：2=2*1、定数項：-3=3*(-1)、2*3+1*(-1)=5
これから、与式=(2x-1)(x+3)になります。

※確認（展開）
(2x-1)(x+3)
=2x^2+2x*3+(-1x)+(-1)*3
=2x^2+(2*3-1)x-3
=2x^2+5x-3

お礼

親切丁寧な回答解説ありがとうございました！

回答No.1

asuncion

(1)
x^2 + 2x - 80
これは誤記ですか？正しくは
x^2 + 2x - 8 ？
だとすると、かけて-8（8じゃなくって）、足して2になる2数を見つける。
4と-2
∴(x + 4)(x - 2)

(2)
2x^2 + 5x - 3
かけて2、かけて-3、足して5になる組合せを見つける
かけて2だから1と2
かけて-3だから1と-3か、-1と3
たすきがけして5になる数を見つける。
2と3をかけて6、1と-1をかけて-1、6と-1を足して5。これでうまくいきそう。
∴(2x - 1)(x + 3)

お礼

親切丁寧な回答解説ありがとうございました！