logの不等式

質問

log(n+9)-log(n+8)<1/100
のとき 最小のnを求めなさい。という問題なのですが
方針と解答を教えて欲しいです…。

回答No.3

staratras

No.2です。少し補足します。10の百乗根は関数電卓で容易に求められますが、自然対数でln10≒2.30を覚えていれば（常用対数でlogｅ≒0.4343（ln10の逆数）でも同じですが)、手計算でも、この問題を解き得る精度までは簡単に求めることができます。

x^100=10　とおき 両辺の自然対数をとると
100lnx=ln10≒2.30
したがってlnx=0.023　　　　
ここでxが極めて1に近いのでx=X+1 とおき、テイラー展開した式
　ln(X+1)=X-X^2/2+X^3/3-X^4/4…の
2次までの近似式に代入すると
ln(X+1)=X-X^2/2=0.023
X^2-2X+0.046=0 これを解くと　
X≒0.02327　より　x≒1.0233　
関数電卓で計算すると10の百乗根は1.023292992…でした。

回答No.2

staratras

回答１：正攻法
下の√10は10の平方根ではなく10の100乗根=「10の(1/100)乗」の意味
log(n+9)-log(n+8)<1/100
log(n+9/n+8)<1/100
log(1+(1/(n+8)))<1/100
1+(1/(n+8))<√10
1/(n+8)<√10-1
n+8>1/(√10-1)
n>(1/(√10-1))-8 10の100乗根は1.02329…これを代入すると
n>(1/(√10-1)-8)≒34.9329…
nに整数という条件があれば、最小の値はn=35

回答２：近似値を求める手抜き解(？)
ln(N+1)-lnN=2{1/(2N+1)+1/(3(2N+1)^3)+1/(5(2N+1)^5)+…} を利用。
常用対数にすると (ただしM=1/ln10≒0.43429…)
log(N+1)-logN=2M{1/(2N+1)+1/(3(2N+1)^3)+1/(5(2N+1)^5)+…}

この式は急速に収束し、右辺の{　}内の第1項までの近似でも
下の表のようにN=10で誤差は0.00003程度です。

n+8=N とおくと、与えられた不等式は
log(N+1)-logN＜1/100
log(N+1)-logN≒2×0.4343×(1/(2N+1))で近似すると
0.8686/(2N+1)<1/100
2N+1>86.86
N>42.93 したがって n>34.93 、 nに整数という条件があれば、最小の値はn=35

回答No.1

mshr1962

logの引き算は、分数に直せるので
log(n+9)-log(n+8) = log{(n+9)/(n+8)} = log{1+1/(n+8)}
1/100 = (log10)/100 = log10^(1/100) ≒ log1.0233
　↓
1+1/(n+8) = 1.0233　→　1/(n+8) = 0.0233　→　(n+8) = 43　→　n = 35