微分と積分の逆関係と矩形面積の関係
- 微分と積分は逆関係であり、矩形面積は微分と積分の両方で同じです。
- 質問の内容は微分と積分の逆関係についてです。参考動画では、y=1/3*x^3を微分するとy=x^2になり、y=x^2を不定積分するとy=1/3*x^3+Cになることが図解されています。
- その他にも、y=((2^2)/2)*asin(x/2)+1/2*x*(2^2-x^2)^0.5を微分するとy=(2^2-x^2)^0.5になり、y=(2^2-x^2)^0.5を不定積分するとy=((2^2)/2)*asin(x/2)+1/2*x*(2^2-x^2)^0.5+Cになることが図解されています。また、矩形面積の例として、半径2の円の右半分、上半分について0から2までの範囲を0.2刻みで10分割した矩形が図示されています。
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微分と積分が逆関係で矩形面積はそれぞれ同じですか?
参考の動画を見て勉強しました。 https://www.youtube.com/watch?v=b1d-BAxvoWA&nohtml5=False 6分30秒のあたりでy=1/3*x^3 を微分してy=x^2になることと、 y=x^2を不定積分してy=1/3*x^3+Cの図解があります。 すごいと思いました。 それで、y=((2^2)/2)*asin(x/2)+1/2*x*(2^2-x^2)^0.5を微分してy=(2^2-x^2)^0.5になることと、 y=(2^2-x^2)^0.5を不定積分してy=((2^2)/2)*asin(x/2)+1/2*x*(2^2-x^2)^0.5+Cの図解をしてみました。 微分して円の方程式になる関数と、円の関数の図示です。 添付ファイルのようになりました。 半径2の円の右半分、上半分について、x軸0から2までを0.2刻みで10分割した矩形を図示しています。 微分して半径2の円の方程式になる関数について、x軸0から2までを0.2刻みで10分割した矩形を図示しています。 左側の矩形10個は右側の矩形10個とそれぞれ、左から順に面積が同じになるはずと思っていました。 結果はうまく行きませんでした。 きっと別の何かについて同じはずです。 x軸0から0.2の幅の矩形、0.2から0.4の幅の矩形…1.8から2.0の幅の矩形は、微分する前の関数(=原始関数)と微分した後の関数でどのように同じですか?
- sunabo
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- 数学・算数
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いいえ 左側の矩形と右側の矩形の面積は同じではありません 面積どうしを比べるのではありません 左側の矩形の縦長と右側の矩形の面積がほぼ同じとなります。 左側関数Y=F(x) 右側関数y=f(x) 矩形の幅をΔx 左側の矩形の縦長ΔY 右側の矩形の縦長y とすると (左側の矩形の縦長)=ΔY=y*Δx=(右側の矩形の面積) となり Δxとyからy*Δx=ΔYを求め足し合わせるのが積分 ΔxとΔYからΔY/Δx=yを求めるのが微分となります 右側の積分する前(微分した後)の関数 f(x)=√(r^2-x^2) の0～xまでの積分値(矩形の面積の合計)は 左側の積分した後(微分する前)の関数値(棒グラフの棒の長さ) F(x)=∫_{0～x}√(r^2-x^2)dx =(r^2/2)*arcsin(x/r)+(x/2)√(r^2-x^2) (y座標値)そのものとなります 右側の積分する前(微分した後)の関数 f(x)=√(r^2-x^2) の0～0.2までの積分値(矩形の面積)は 左側の積分した後(微分する前)の関数値(棒グラフの棒の長さ) F(0.2)=(r^2/2)*arcsin(0.2/r)+(0.2/2)√(r^2-0.2^2) ≒0.399 となります 右側の積分する前(微分した後)の関数 f(x)=√(r^2-x^2) の0.2～0.4までの積分値(矩形の面積)は 左側の積分した後(微分する前)の関数値(棒グラフの棒の長さ) F(0.4)≒0.7946 F(0.2)≒0.399 の差 F(0.4)-F(0.2)=∫_{0.2～0.4}√(r^2-x^2)dx ≒0.7946-0.399 となります 右側の積分する前(微分した後)の関数 f(x)=√(r^2-x^2) の1.8～2までの積分値(矩形の面積)は 左側の積分した後(微分する前)の関数値(棒グラフの棒の長さ) F(2)=π=(左図関数最大値)=(右図(1/4)円面積π*2^2/4) F(1.8)=3.024 の差 F(2)-F(1.8)=∫_{1.8～2}√(r^2-x^2)dx =π-3.024≒3.14-3.024=0.11745 となります
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- jcpmutura
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f(x)=√(r^2-x^2) F(x)=∫_{0～x}√(r^2-x^2)dx =(r^2/2)*arcsin(x/r)+(x/2)√(r^2-x^2) 矩形の幅Δx=1 r=10 分割数10 とします F(0)=0 F(1)-F(0)=F(1)=y_0=9.9833 平均値の定理は 0≦x_0≦1 f(x_0)={F(1)-F(0)}/1=y_0 となるx_0が存在するというだけで x_0の具体的な計算式を示してはいません x_0=√{10^2-(y_0)^2} は実際にそのx_0を求める式なのです ( 円 (x_0)^2+(y_0)^2=10^2 のx_0とy_0を入れ替えても同じだから x_0≧0,y_0≧0ならば y_0=√{10^2-(x_0)^2} と x_0=√{10^2-(y_0)^2} は同じ ) x_0=√{10^2-(y_0)^2} これにy_0=9.9833を代入すると x_0=√{10^2-(9.9833)^2}=0.577543516 同様に x_1=√{10^2-(9.882546767)^2}=1.528158826 x_2=√{10^2-(9.677865711)^2}=2.517720253 x_3=√{10^2-(9.362424361)^2}=3.513546653 x_4=√{10^2-(8.924428791)^2}=4.511604011 x_5=√{10^2-(8.344481565)^2}=5.510864488 x_6=√{10^2-(7.589818891)^2}=6.511117355 x_7=√{10^2-(6.59988657)^2}=7.512755637 x_8=√{10^2-(5.238760096)^2}=8.517945331 x_9=√{10^2-(2.936295344)^2}=9.559192939
お礼
わかりました。 y=f(x)=√(r^2-x^2) です。 y_0=f(x_0)=√(r^2-x_0^2) です。 y_0やy_2や…y_9をひとまとめにして1段抽象したyがわからなかったのでした。 原点を中心とする円だから、y=xについて対称。 yとxを入れ替える。 x_0=√(r^2-y_0^2)
- jcpmutura
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矩形がいちばん同じになるrを探しているのではありません 矩形がいちばん同じになるためには 矩形の幅Δx=1 矩形の縦長ΔY_k=y_k=f(x_k) が必要なのでそのx_kを探しているのです f側の区間0≦x≦1の矩形の縦長を 現在 f(0) としているのを適当な f(x_0),(0≦x_0≦1) に変更するためのx_0を探しているのです r=10 分割数10 とします y_0=F(1)-F(0) x_0=√{10^2-(y_0)^2} 両辺を2乗すると (x_0)^2=10^2-(y_0)^2 両辺に(y_0)^2-(x_0)^2を加えると (y_0)^2=10^2-(x_0)^2 両辺を(1/2)乗するとy_0>0だから y_0=√{10^2-(x_0)^2} ∴ F(1)-F(0)=y_0=√{10^2-(x_0)^2}=f(x_0) だから f(0)を矩形の縦長とするのではなく f(x_0)をf側の区間0≦x≦1の矩形の縦長とすれば、 f(x_0)=(F(1)-F(0))*1 でFとfで矩形の面積が同じになります。 f(0)ではなくf(0.577543516)をf側の区間0≦x≦1の矩形の縦長とする f(1)ではなくf(1.528158826)をf側の区間1≦x≦2の矩形の縦長とする f(2)ではなくf(2.517720253)をf側の区間2≦x≦3の矩形の縦長とする f(3)ではなくf(3.513546653)をf側の区間3≦x≦4の矩形の縦長とする f(4)ではなくf(4.511604011)をf側の区間4≦x≦5の矩形の縦長とする f(5)ではなくf(5.510864488)をf側の区間5≦x≦6の矩形の縦長とする f(6)ではなくf(6.511117355)をf側の区間6≦x≦7の矩形の縦長とする f(7)ではなくf(7.512755637)をf側の区間7≦x≦8の矩形の縦長とする f(8)ではなくf(8.517945331)をf側の区間8≦x≦9の矩形の縦長とする f(9)ではなくf(9.559192939)をf側の区間9≦x≦10の矩形の縦長とする
お礼
うおおおお！わかったー！ 矩形の縦長を10個に割った区間の右端で取っていた。 上記を変えて、 10個に割った区間にそれぞれに F(x)側の矩形の縦長F(x)-F(x-1)と f(x)側の矩形の縦長F'(x_0)=f(x_0)が おなじになるx_0があることを平均値の定理で示している。 10個に割った区間にそれぞれについて、 f(x)の矩形の長さを、区間の中でxをうごかして調節して、 F(x)-F(x-1)にあわせてるんだ！！！！ 平均値の定理すげー。 F(x)-F(x-1)の1は動かしちゃだめ。定理で区間決まってるし、混乱するし。 それぞれの区間の中で、f(x)の縦長の長さをぴったり同じにできる、xが必ずあるんだ！微分可能ならば。 一個目はx_0=0.577543516の計算つき すげー。 回答16行目にある下記は何ですか？ x_0=√{10^2-(y_0)^2}
- jcpmutura
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1個目の矩形で 「 f(0)≒(F(1)-F(0))*1で矩形がほぼ同じ 」 でf(0)をf側の区間0≦x≦1の矩形の縦長としていますが 平均値の定理から 0≦x_0≦1 f(x_0)={F(1)-F(0)}/1 となるx_0が存在し 実際 y_0=F(1)-F(0) x_0=√{10^2-(y_0)^2} とすれば F(1)-F(0)=y_0=√{10^2-(x_0)^2}=f(x_0) だから f(x_0)をf側の区間0≦x≦1の矩形の縦長とすれば、 f(x_0)=(F(1)-F(0))*1 でFとfで矩形の面積が同じになります。 f(x)=√(r^2-x^2) F(x)=∫_{0～x}√(r^2-x^2)dx =(r^2/2)*arcsin(x/r)+(x/2)√(r^2-x^2) r=10 Δx=1 k=0～rに対して y_k=F(k+1)-F(k) x_k=√{r^2-(y_k)^2} とすれば k<x_k<k+1 F(k+1)-F(k)=f(x_k) となります 矩形縦長y_k=f(x_k)となるx_kは y_0=9.9833,x_0=0.577543516 y_1=9.882546767,x_1=1.528158826 y_2=9.677865711,x_2=2.517720253 y_3=9.362424361,x_3=3.513546653 y_4=8.924428791,x_4=4.511604011 y_5=8.344481565,x_5=5.510864488 y_6=7.589818891,x_6=6.511117355 y_7=6.59988657,x_7=7.512755637 y_8=5.238760096,x_8=8.517945331 y_9=2.936295344,x_9=9.559192939 となります
お礼
左側関数Y=F(x) 右側関数y=f(x) F'(x)=f(x) F(x)=∫_{0～x}f(x)dx 矩形の幅Δx 左側の矩形の縦長ΔY 右側の矩形の縦長y とすると (左側の矩形の縦長)=ΔY=y*Δx=(右側の矩形の面積) 矩形の面積を同じにしたかったら (左側の矩形の縦長)*Δx=左側の矩形の面積=ΔY*Δx (右側の矩形の面積)=y*Δx Δxは1 です。 左側の矩形の面積は区間の両端xでYをとって固定して 右側の矩形の面積を区間の間のxでyをとって同じにする。 (左側の矩形の縦長)=ΔY=y*Δx=(右側の矩形の面積) は平均値の定理の変形 両辺をΔxで割る。 ΔY/Δx=y (F(x_0+Δx)-F(x_0))/Δx=y=F'(c) 動画の6分30秒を見ると、矩形の数は0≦xに18個あります。 xは0~18の範囲で絵を作っていますたぶん。 よく見るとf(x)側は、グラフが矩形の真ん中あたりを通っています。 平均値の定理使ってます。 Y=F(x)=1/3*x^3 y=f(x)=x^2 Δx=1 0≦x≦18 F(1)-F(0)=f(0.5773502692)*1=0.3333333333 F(2)-F(1)=f(1.5275252317)*1=2.3333333333 F(3)-F(2)=f(2.5166114784)*1=6.3333333333 F(4)-F(3)=f(3.5118845843)*1=12.3333333333 : F(17)-F(18)=f(17.5023807904)*1=306.3333333333 それぞれの区間内でだいたい真ん中でf(x)矩形が同じになるようです。 (左側の矩形の縦長)=ΔY=y*Δx=(右側の矩形の面積) の両辺をΔxで割ると (左側の矩形の縦長)/Δx=ΔY=(左側の矩形の傾き)=y=(右側の矩形の縦長) になります。 左の縦長右の面積。左は右を積分したもの。 面積は目に見えるけど、右のグラフ上に値は無い。 左の傾き右の縦長。左を微分して右になる。 傾きは目に見えるけど、左のグラフ上に値は無い。 結局no.1の回答が質問の正しい答えだとわかりました。 no.1の回答をベストアンサーにします。
補足
分割数を10、範囲を0～半径rとして、矩形がいちばん同じになるrの探し方を回答いただいていると思われます。 分割数が10なので、0からrの範囲を、x_0、x_1、～、x9の10個の区間に分けている。 回答12行目から14行目 x_0=√{10^2-(y_0)^2} とすれば F(1)-F(0)=y_0=√{10^2-(x_0)^2}=f(x_0) が判りません。 ↑ 12行目のx_0を14行目のこのx_0に代入すると変な感じがします。 F(1)-F(0)=y_0=√{10^2-(√{10^2-(y_0)^2})^2}=f(x_0)
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