解き方を。

質問

sin(x)=ax
はa>=1ならx=0しかないのは図から分かります。
しかし0<a<1の場合は解けるんでしょうか。
exp(-x)=ax　0<a
は図から左辺と右辺が一点で交わるのは分かりますが
式的にはどう考えればいいのでしょうか。

回答No.5

grothendieck · ベストアンサー

リウヴィルは次のことを証明しました。
　「log y = F(x,y) においてF(x,y)はx,yを含む代数関数で、ｙにどのような定数ｂを与えてもF(x,y)が定数log b に等しくないときは、ｙはｘの初等関数にはならない。」
これにより
　exp(-x)=ax　
としたとき、ｘはaの初等関数では表せません.リウヴィルの定理の証明は
　黒河龍三；日本数学物理学会誌、第１巻(1927),p.17
にあります。しかしx=f(a)としたとき、
　x=1-(e/2)(a-e^-1)+(5e^2/16)(a-e^-1)^2+…
のような式で表されます。

お礼

>x=f(a)としたとき、
>　x=1-(e/2)(a-e^-1)+(5e^2/16)(a-e^-1)^2+…
>のような式で表されます。

質問した価値がありました。質問のあと自分でも調べて同じような解を見つけました。この形が適しているようです。ありがとうございます！

回答No.4

grothendieck

sin(x)=axでaが0に近い場合は次のようにするとよいでしょう。sin(x)=axのx=0の次に大きい解をx=f(a)としたとき、ｆはa=0の近傍で滑らかであることは直感的に明らかです。そこで
　f(a)= f(0) + af'(0) + (a^2/2)f"(0) +…
　　= π(1 - a + a^2…)
(これが合っているかは検算をお願いします)
こうしてみると、f(a)は初等関数ではないとはいえ、決してaで表せないわけではないことが分かります。

回答No.3

grothendieck

代数関数、指数関数、対数関数およびそれらを有限個組み合わせたものを初等関数と呼びます。超越方程式の解がどのようなときに初等関数で表せないかはリウヴィルによって研究されています。それによると
　x = z - h sin z
としたとき、ｚはｈの初等関数では表せません。
　初等関数の有限個の組み合わせでは表せませんが無限個の組み合わせで表すことはできます・
　ｘ = (1/a)sin x　…(1)
でｘの最初の近似値を1/aとして(1)の右辺に代入すると
　ｘ ≒ (1/a)sin(1/a)
これを再び(1)の右辺に代入すると
　ｘ ≒ (1/a)sin((1/a)sin(1/a))
これを繰り返して
　ｘ = …(1/a)sin((1/a)sin((1/a)…)
aが1/2より大きいときはこれが収束して正しい解を与えるようです。この方法で求めた解を書くと
　a　　x
0.5　1.895494
0.6　1.660035
0.7　1.410185
0.8　1.131103
0.9　0.786684
となります。

回答No.2

springside

「解ける」という言葉の解釈になります。

「解が存在するか否か」という意味であれば、YES。
「その解をx=???という形で表現できるか」という意味であれば、NO

ただそれだけ。

補足

ありがとうございます！

回答No.1

kurobe3463

「解ける」をどう考えるか．
グラフから明らかですが中間値の定理によって解の存在は保証されます．
その存在する解を「一般的な式」で表現可能かどうかは別問題で，これらは表現不能です．

4次方程式までは解の公式（加減乗除と累乗根で表現）はありますが，5次以上は解の公式を作ることが出来ないことが証明されています．（ガロア，アーベル）
しかしn次方程式には（最大で）n個の複素数解が存在することが証明されている（ガウス）ので，公式はなくても5次方程式は最大で5個の解が存在します．
しかしそれを加減乗除と累乗根で一般的には表現できません．頭が悪くて表現できないのではなく，表現できないことが証明されています．
代数方程式ですらそうなのですから，高校の三角方程式，指数・対数方程式は「表現できる問題」しか出題できません．
sin(x)=0.1 の解は x=Arcsin(0.1) と逆正弦関数で表しますが，これで「表現できた」ことになるなら，sin(x)=ax を満たす x を SinChokusenKoten(a) という関数で表して，「sin(x)=ax の解は SinChokusenKoten(a) である」といえばよろしい．（笑）

補足

真面目でない回答は要りません