高校受験

質問

△ABCにおいて、∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとしAB＝８、AC＝１０とする。辺ACの中天をMとしてBMとADの交点をPとする。
(１)BP：PM　答え８：５
(２)AP:PD　　答え９：４
どうしても意味が分かりません・・・。　
比が苦手かもしれません。

回答No.2

eliteyoshi · ベストアンサー

この問題はいろいろなやり方がありますが、チェバの定理・メネラウスの定理という中学生でもすぐに理解できる公式があるので、それを使えば簡単です。公式は、参考URLを見てください。
　まず、AB：AC=BD：DC=8：10=4：5です。
　この場合はメネラウスの定理を使います。

1)BP：PMを求める場合
(BD/DC) (AC/AM) (PM/BP)=1
(4/5) (2/1) (PM/BP)=1
(8/5) (PM/BP)=1
PM/BP=5/8

よって、
BP：PM=8：5

2)AP：PDを求める場合
(AM/MC) (BC/BD) (PD/AP)=1
(1/1) (9/4) (PD/AP)=1
(9/4) (PD/AP)=1
PD/AP=4/9

よって、
AP：PD=9：4

となります。

参考URL：

http://yosshy.sansu.org/theorem/ceva_mene.htm

お礼

定理のこと知りませんでした。ただ問題解いていただけだったので・・。どんどん問題解いていきます。また何かあれば教えてください。ありがとうございました。

回答No.5

postro

三角形の面積比と辺の比の関係を使って考えてみました。
△ＰＡＢ：△ＰＡＭ＝ＡＢ：ＡＭ＝８：５＝ＢＰ：ＰＭ
△ＤＡＢ：△ＤＡＣ＝ＡＢ：ＡＣ＝８：１０＝ＤＢ：ＤＣ
△ＡＢＭ：△ＣＢＭ＝１：１
△ＰＡＢ：△ＰＡＭ：△ＰＣＭ：△ＰＢＣ＝８：５：５：８
△ＡＢＣの面積を２６（８+５+５+８）とすると
△ＰＢＣ＝８　と
△ＤＰＢ：△ＤＰＣ＝８：１０　より
△ＤＰＢ＝６４／１８
したがって
△ＰＡＢ：△ＤＰＢ＝８：（６４／１８）＝９：４＝ＡＰ：ＰＤ

回答No.4

sakura_214

すでに指摘されているようにこの種の問題は，メネラウスの定理とチェバの定理を使うと，図中のいたるところの比をとても簡単に求めることができるので，機会があったらぜひチャレンジしてみてください．

ここではあえてそれらを使わずにやってみます．

（１）角の２等分線の定理（ちなみにこの定理はとても有名な命題にも関わらず，正式な名前がないのが不思議ですね・・・）を使いましょう．すでに解答はhiro0825さんが述べているので詳細は省きます．△ABCに対しては，AB:AC=BD:CDとなります．同様に△ABMに対しては，AB:AM=BP:PMとなります．後者の関係を使えば答えが出ますね．

（２）以下に述べる方法以外にも解法はあるとは思いますが，メネラウスの定理を使わないでやるとしたら，だいたい下のようにやることになると思います．
点Mを通り，ADに平行な線を引き，BCとの交点をEとします．---(*)
△BMEにおいて，PD:ME=BP:BM=8:(8+5)=8:13
△ACDにおいて，ME:AD=MC:AC=1:(1+1)=1:2=13:26
よって，AD:PD=26:8=13:4 → AP:PD=9:4 となります．

途中誘導なしでいきなり補助線として(*)を思いつくのはなかなか難しいかもしれませんが，この場合AP（またはAD）とPDとの関係を直接求めることができない以上，間接的に両者から共通して比を求めることができる平行線MEに気づくことが壷となります．
（と強引にこじつけてみましたが，実はこの補助線自体，メネラウスの定理そのものを証明する１つの方法になっているので，私自身はすぐわかったのですが^^）

回答No.3

tomtak

辺ＡＣを、８:２に分割する点をＥとします。
ＡＣ＝１０なので、ＡＥ＝８、ＥＣ＝２になります。

△ＡＢＥはＡＢ＝ＡＥ＝８なので、二等辺三角形です。

ＢＥとＡＤの交点をＦとすると、ＡＦは、∠Ａを二等分するので、ＢＦ：ＦＥ＝１：１になります。

ここで、メネラウスの定理より、
（http://www.cwo.zaq.ne.jp/bfaby300/math/grav.html）

（ＥＦ/ＦＢ）・（ＢＰ/ＰＭ）・（ＭＡ/ＡＥ）＝１
より、

（ＢＰ/ＰＭ）＝（ＡＥ/ＭＡ）・（ＦＢ/ＥＦ）
　　　　　　　＝　（８/５）・（１/１）
　　　　　　　＝　８/５　　　　　　　　・・・（１）の答え

となります。

同様に、
（ＣＤ/ＤＢ）・（ＢＰ/ＰＭ）・（ＭＡ/ＡＣ）＝１
より、

（ＣＤ/ＤＢ）＝（ＰＭ/ＢＰ）・（ＡＣ/ＭＡ）
　　　　　　　＝（５/８）・（１０/５）
　　　　　　　＝５/４

（ＣＭ/ＭＡ）・（ＡＰ/ＰＤ）・（ＤＢ/ＢＣ）＝１
より、

（ＡＰ/ＰＤ）＝（ＢＣ/ＤＢ）・（ＭＡ/ＣＭ）
　　　　　　　＝（９/４）・（５/５）
　　　　　　　＝９/４　　　　　　　　　・・・（２）の答え

となります。

参考URL：

http://www.cwo.zaq.ne.jp/bfaby300/math/grav.html

お礼

定理のこと知りませんでした。ただ問題解いていただけだったので・・。どんどん問題解いていきます。また何かあれば教えてください。ありがとうございました。

回答No.1

hiro0825

Ｄは角の二等分線との交点ですのでAB:AC=BP:PMとなります。角の二等分線は交点は同じ比で交わるという性質があります。
ですので8:5となります。
空いた時間に回答したので（２）はわかりません。すみません。

お礼

ありがとうございます。　
角の二等分線は交点は同じ比で交わるという性質があります。
ということを覚えておきます。