構成的な方法と背理法による方法

質問

予めお断りしますが問題を解いてくれという質問ではありません。

「平面上に点A,Bがある。線分AB上の任意の点Pにたいしてr(P)>0が与えられていてD(P;r(P))={Q:|PQ|<r(P)}が対応づけられているとする。このときあるρ>0が存在してAB上の任意の点Pに対して線分AB上の点QがあってD(P;ρ)⊂D(Q;r(Q))となることを示せ」という問題についてです。

略解には「そのようなρ>0が存在しないとすると～」と背理法によるスマートな方法が述べられていました。

略解に載ってない自分で考えた別解として、コンパクト性から有限個の点P_1,...,P_m,Q_1,...,Q_n(n≦2m)が存在して∪{∂D(P_k;r(P_k))∩AB|1≦k≦m}={Q_1,Q_2,…,Q_n},ρ=(1/2)min{|Q_iQ_j|;1≦i,j≦n(i≠j)}
としてもよいように思いました（詳細は省略します）。

別解のほうが具体的に値を求めることができるのでこちらのほうが良いようにみえなくもないのですがそんなことないのでしょうか？当然著者は別解の方法も気づいているはずと思います。それともコンパクト性というワンクッションを置くから採用しなかったのでしょうか。略解のやり方だと直接区間縮小法で一度に示しています。

回答No.1

tmpname

ご存知かもしれませんが、順序体において、以下の2つの性質を考えたとき、

A. [0,1]がcompactである （従って、任意のa<bに対し、[a, b]はcompactである）
B. その順序体がArchimedes的であって、かつ区間縮小法の原理（空でない閉区間列で、包含関係で単純縮小列になっているものの共通部分は、やはり空でない）が成り立つ

AとBとは同値です。共にいわゆる「実数の完備性」と言われるもの（つまり、実数体を特徴づけるもの）と同値です。別にどっちがよりよいというものでもないです。使い易い方を使えばいいです。（実は、compact性の説明はその本では後で出て来る、とかいうことはありませんか？）

で、BからAを導くことを考えると、その略解の方法をまねればできるはずです。いい機会なので、逆にAからBを導いてみればいいでしょう。「実数の完備性」と言われる性質は、この他にも色々ある（例えば、「C: 上に有界な空でない集合は必ず上限を持つ」）ので、自分で同値である事を証明してみればよいでしょう。

完全に蛇足ですが、これを有理数体上で考えると、[0,1]を有理数体の部分集合として考えたときはcompactでないですし、又有理数体はArchimedes的ですが、区間縮小法の原理は成り立ちません。

補足

問題書かないほうがよかったかもしれませんね。
背理法による短い証明と構成的方法による長めの証明とではどちらが優れているかという質問だと思ってください。