問題: u=u(r,θ)に対する境界値問題

質問

問題: u=u(r,θ)に対する境界値問題
(∂^2u/∂r^2)+(1/r)(∂u/∂r)+(1/r^2)(∂^2u/∂θ^2)=0
(1<r<2, 0<θ<π)
u(1,θ)=sinθ、u(2,θ)=0
u(r,0)=u(r,π)=0
の解を求めよ。

解答: u=R(r)Θ(θ)として変数分離で解くと(過程略)
Θ=Csin(nθ)となる(Cは定数、n=1,2,......)

ここまでは解けたのですがRの微分方程式
(r^2)R"+rR'-(n^2)R=0
が解けません。どうすれば良いでしょうか？

回答No.3

jcpmutura

#1です.間違えました。訂正します
(r^2)R"+rR'-(n^2)R=0

R=r^a
とすると
R'=ar^{a-1}
R"=a(a-1)r^{a-2}
(r^2)R"+rR'-(n^2)R=0
=a(a-1)r^a+ar^a-(n^2)r^a=0
=(a^2-n^2)r^a=0
↓
a^2-n^2=0
↓
a=±n
だから
A,Bを任意定数
とすると
R=Ar^n+Br^{-n}

u(2,θ)=0
=R(2)Csin(nθ)
=(A*2^n+B*2^{-n})Csin(nθ)
=0

A*2^n+B*2^{-n}=0
A*4^n+B=0
B=-A*4^n

R=A{r^n-(4/r)^n}
↓
u(r,θ)=C{r^n-(4/r)^n}sin(nθ)

回答No.2

kiyos06

0)x^2 d^2y/dx^2 +x dy/dx -n^2 y =0
1)y =x^m zとする。
1.1)x^(m+2) d^2z/dx^2 +2mx^(m+1) dz/dx +m(m-1)x^m z
+x^(m+1) dz/dx +mx^m z
-n^2 x^m z =0
2)m(m-1) +m -n^2 =0となるmを選ぶ。
2.1)m =nとする。
3)x^(n+2) d^2z/dx^2 +(2n+1)x^(n+1) dz/dx =0
3.1)dz/dx =wとする。
4)xdw/dx +(2n+1)w =0
5)w =x^l vとする。
5.1)x^(l+1) dv/dx +lx^l v +(2n+1)x^l v =0
6)l +(2n+1) =0となるlを選ぶ。l =-(2n +1)
6.1)dv/dx =0
7)v =c1
8)y =x^n ∫ c x^(-2n -1) dx
9)y =C1 x^n +C x^(-n)

参考URL：

http://chiebukuro.yahoo.co.jp/my/myspace_collection.php?writer=kiyos06&type=note

回答No.1

jcpmutura

(r^2)R"+rR'-(n^2)R=0

R=r^a
とすると
logR=logr^a=alogr
R=e^{alogr}
R'=(a/r)e^{alogr}
R"={(a/r)^2}e^{alogr}

(r^2)R"+rR'-(n^2)R=(a^2+a-n^2)e^{alogr}=0
↓
a^2+a-n^2=0
↓
a={-1±√(1+4n^2)}/2
だから
A,Bを任意定数
b=√(1+4n^2)
α=(-1+b)/2
β=(-1-b)/2
とすると
R=Ar^α+Br^β

u(2,θ)=0
=R(2)Csin(nθ)
=(A*2^α+B*2^β)Csin(nθ)
=0

A*2^α)+B*2^β=0
A*2^{α-β}+B=0
A*2^b+B=0
B=-A*2^b

R=A{r^α-(2^b)r^β}
↓
b=√(1+4n^2)
α=(-1+b)/2
β=(-1-b)/2
の時
u(r,θ)=C{r^α-(2^b)r^β}sin(nθ)