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問題: u=u(r,θ)に対する境界値問題

問題: u=u(r,θ)に対する境界値問題 (∂^2u/∂r^2)+(1/r)(∂u/∂r)+(1/r^2)(∂^2u/∂θ^2)=0 (1<r<2, 0<θ<π) u(1,θ)=sinθ、u(2,θ)=0 u(r,0)=u(r,π)=0 の解を求めよ。 解答: u=R(r)Θ(θ)として変数分離で解くと(過程略) Θ=Csin(nθ)となる(Cは定数、n=1,2,......) ここまでは解けたのですがRの微分方程式 (r^2)R"+rR'-(n^2)R=0 が解けません。どうすれば良いでしょうか?

みんなの回答

  • jcpmutura
  • ベストアンサー率84% (311/366)
回答No.3

#1です.間違えました。訂正します (r^2)R"+rR'-(n^2)R=0 R=r^a とすると R'=ar^{a-1} R"=a(a-1)r^{a-2} (r^2)R"+rR'-(n^2)R=0 =a(a-1)r^a+ar^a-(n^2)r^a=0 =(a^2-n^2)r^a=0 ↓ a^2-n^2=0 ↓ a=±n だから A,Bを任意定数 とすると R=Ar^n+Br^{-n} u(2,θ)=0 =R(2)Csin(nθ) =(A*2^n+B*2^{-n})Csin(nθ) =0 A*2^n+B*2^{-n}=0 A*4^n+B=0 B=-A*4^n R=A{r^n-(4/r)^n} ↓ u(r,θ)=C{r^n-(4/r)^n}sin(nθ)

  • kiyos06
  • ベストアンサー率82% (64/78)
回答No.2

0)x^2 d^2y/dx^2 +x dy/dx -n^2 y =0 1)y =x^m zとする。 1.1)x^(m+2) d^2z/dx^2 +2mx^(m+1) dz/dx +m(m-1)x^m z +x^(m+1) dz/dx +mx^m z -n^2 x^m z =0 2)m(m-1) +m -n^2 =0となるmを選ぶ。 2.1)m =nとする。 3)x^(n+2) d^2z/dx^2 +(2n+1)x^(n+1) dz/dx =0 3.1)dz/dx =wとする。 4)xdw/dx +(2n+1)w =0 5)w =x^l vとする。 5.1)x^(l+1) dv/dx +lx^l v +(2n+1)x^l v =0 6)l +(2n+1) =0となるlを選ぶ。l =-(2n +1) 6.1)dv/dx =0 7)v =c1 8)y =x^n ∫ c x^(-2n -1) dx 9)y =C1 x^n +C x^(-n)

参考URL:
http://chiebukuro.yahoo.co.jp/my/myspace_collection.php?writer=kiyos06&type=note
  • jcpmutura
  • ベストアンサー率84% (311/366)
回答No.1

(r^2)R"+rR'-(n^2)R=0 R=r^a とすると logR=logr^a=alogr R=e^{alogr} R'=(a/r)e^{alogr} R"={(a/r)^2}e^{alogr} (r^2)R"+rR'-(n^2)R=(a^2+a-n^2)e^{alogr}=0 ↓ a^2+a-n^2=0 ↓ a={-1±√(1+4n^2)}/2 だから A,Bを任意定数 b=√(1+4n^2) α=(-1+b)/2 β=(-1-b)/2 とすると R=Ar^α+Br^β u(2,θ)=0 =R(2)Csin(nθ) =(A*2^α+B*2^β)Csin(nθ) =0 A*2^α)+B*2^β=0 A*2^{α-β}+B=0 A*2^b+B=0 B=-A*2^b R=A{r^α-(2^b)r^β} ↓ b=√(1+4n^2) α=(-1+b)/2 β=(-1-b)/2 の時 u(r,θ)=C{r^α-(2^b)r^β}sin(nθ)

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