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本を読んでいてわからないことがありました

  • 質問No.9085188
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お礼率 3% (18/466)

数学の本を読んでいたんですが、わからないことがありました。
「10人の人が集まったとき、その中にAさんと同じ誕生日の人がいる確率はかなり小さいものです。なぜなら、365通りもの誕生日があるからです。しかし、集団の中に少なくとも1組同じ誕生日の人がいる確率と言われると事情が変わってきます。それは、Aさんと同じ誕生日がいるのではなく、誰でもいいから同じ誕生日の人が少なくとも1組いるということだからです。今10人いて、誰も同じ誕生日の人がいない、全部誕生日が違うという確率は次のようになります。
365/365×364/365×363/365×362/365・・・356/365=0.8830・・・」
という風に本に書いていたんですが、「Aさんと同じ誕生日がいる」と「誰でもいいから同じ誕生日の人が少なくとも1組いる」の違いがいまいちわかりません。同じように思うんですが、全然違うのでしょうか?
あと、10人いて誰も同じ誕生日の人がいない、全部誕生日が違うという確率はなぜ365/365×364/365×363/365×362/365・・・356/365=0.8830・・・
という風になるのでしょうか?
解説お願いします。

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  • 回答No.3
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ベストアンサー率 30% (639/2090)

>Aさんと誕生日が違う確率は1/365、でもBさんも誕生日も実は365通りあるから 違う確率も365倍で
AさんとBさんの誕生日の違う確率は365/365になるんじゃないだろうか。

1/365は誕生日が同じ確率、ですね。
「誕生日の違う確率は365/365」だったら、絶対誕生日が違って、同じであることはありえないことになっちゃいますよ。
全部誕生日が違うという確率は、単純に計算できます。
先ず、1人目は365日のどれが誕生日でも良いので、1人目の誕生日として有り得るのは365日、全体は365日なので確率は365/365。2人目は1人目の誕生日と同じであってはいけないので、逆にいうと、1人目の誕生日以外の364日の中から自由に誕生日を取り得る。だから確率は364/365。3人目は1人目及び2人目の誕生っ日以外の363日の中から自由に誕生日を取り得る。だから確率は363/365。 ・・・・以下、その繰り返しです。
中学の確率で習う、袋の中に番号を振った球が入っていて、球を取り出すたびに「元に戻す」操作を繰り返し、同じ番号の球が出ない確率、 の計算方法ですね。

================
>「Aさんと同じ誕生日がいる」と「誰でもいいから同じ誕生日の人が少なくとも1組いる」の違い
は、ある固定した日付に対して同じ誕生日の人がいる、しかもその固定した日付は最大人数分しか有り得ない ということと 365日、どの日付でもいいからというわけにはいかず最大人数分しか有り得ない、というのは変わらないものの、どの日付でもいいから同じ誕生日の人がいること の違いです。

簡単に、5人の人がいて、それぞれの誕生日が
1/1、1/1、1/2、1/3、1/4
だったとしましょう。Aさんの誕生日が1/1なら5人の中にAさんと同じ誕生日の人が居ることになりますが、Aさんの誕生日が1/2なら5人の中にAさんと同じ誕生日の人は居ません。また、Aさんの誕生日が1/2であっても『誰でもいいから同じ誕生日の人』ということであれば、1/1生まれの人が1組います。

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  • 回答No.2

ベストアンサー率 23% (3/13)

長文になりました、、、混乱したら無視してください。

>「Aさんと同じ誕生日がいる」と「誰でもいいから同じ誕生日の人が少なくとも1組いる」の違いがいまいちわかりません。
⇒この違いは具体的に考えると感覚的にも分かりそうな感じしませんか?まぁ 考えるのが面倒ですけどねw
 まず、10人、A,B、C、D、E,F,G,H,I、Jさんがいたとして、
 「Aさんと同じ誕生日がいる」確率は例えばAさんが1月1日生まれだとしたら他に「1月1日生まれ人が必要」ってことになりますね。それって かなりレアでしょ?
 組み合わせの数だけ考えてもAとB、AとC・・・って感じで9通りしかない。
 (ここで勘違いしないでほしいのは1月1日だからレアなんではなくて該当する誕生日が1月1日だけになってしまうという点。何月何日でもいいんだけど、1日だけに限定されてしまうんですよね)
 次の「誰でもいいから同じ誕生日の人が少なくとも1組いる」っていうのは、片方がA(1月1日生まれ)でなくてもいいんです。
 組み合わせの数だけでもAとB、AとC・・・9通り+BとC、BとD・・・8通り+・・・って多いじゃないですか!
 どうですか? なんとなくイメージできました?
 
>あと、10人いて誰も同じ誕生日の人がいない、全部誕生日が違うという確率はなぜ365/365×364/365×363/365×362/365・・・356/365=0.8830・・・
という風になるのでしょうか?
⇒まず1年が365日固定って前提(うるう年考えない)ですけど、
 確率ってまず、すべてでA通りあるうちのB通りの確率はB/Aっていうのは前提です。
 上記のA~Jの誕生日が違う確率を考えるには組み合わせとその事象が起きる確率とを 計算しなきゃいけないんだな きっと。
 まず、365/365はAさんとBさんが誕生日の違う確率とします。考え方はAさんの誕生日は365通りあって、Bさんの誕生日が固定1月1日の1通りだったら、Aさんと誕生日が違う確率は1/365、でもBさんも誕生日も実は365通りあるから 違う確率も365倍で
AさんとBさんの誕生日の違う確率は365/365になるんじゃないだろうか。
次にAさんとCさんの誕生日の違う確率を考える時は、AさんとCさんだけじゃなくBさんとも誕生日は違うことが前提になっているから上記でいう「Bさんの誕生日が365通り」の部分がCさんの場合、364通りになるんだろうね。残り1通りはBさんの誕生日の分が減ってるんだと思う。 だから AさんとBさんの誕生日が違う確率(365/365)+AさんとCさんの誕生日が違う確率(364/365)。。。って感じになるんじゃないかと。
  • 回答No.1
まず・・その本の間違いから言うと・・四年に一回 うるう年があるので 一年が366日の年もある・・

その うるう年に産まれた人も必ず居る訳だから365云々等 では無理・・
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