多項間漸化式

質問

数学の授業で3項間漸化式をやったとき
ふと4項間漸化式の一般項が知りたくなりました。
しかしいろいろ試しましたが分かりません。
質問No.84673の「4項間漸化式」も見させていただきましたが、
結局、漸化式の問題ではないという感じで終わっていてよく分かりません。

たとえば3項間ならば特性方程式と二次方程式の解の公式から
a(n+2)-(α+β)*a(n+1)+αβ*a(n)=0 となるα,βを求め(α≠β)
(

回答No.14

noname#598

自宅の引越しをしていたので、バタバタしてます。
全身筋肉痛＆寝不足です（笑）
こんなに話が広がってるとは思いませんでした。
私もあとでじっくり読ませていただきます。

さて、整数であることの質問ですが、折角漸化式があるのだから、
帰納法でいいのではないかと思います。
「a1,a2は整数、a(n+2)=P*a(n+1)+Q*a(n) （P,Qは整数）で与えられる数列の一般項は整数である」について

n=1,n=2のとき自明（n=2も書いておくと大丈夫だと思います）

n=k+1　まで仮定が成り立っているとすると、
a(k+1)=x,a(k)=y （ｘ、ｙは整数）と置ける。

n=k+2　のとき、漸化式から
a(k+2)=P*a(k+1)+Q*a(k)＝Px+Qy　これは整数だからn=k+2のときも成り立つ。

よって、全ての自然数ｎについて整数であることが示せた。

n-1個の整数の初期条件と整数係数で与えられる隣接ｎ項間漸化式は、
同様に一般項は全て整数です。
私が持ち出した、途中がすごいことになるあの漸化式でも、です。

完全な蛇足です。α＝βでも構いません。
重解をもつ隣接３項間漸化式ですが、
a1=s,a2=tで、その重解をαとすると、
その次の漸化式は１個しか作れないけど、両辺からα^(n+1)を割り、
a(n)/α^n＝bnとおけば、 これは等差数列になります。
a(n)=sα^(n-1)+(s-αt)*(n-1)*α^(n-2)
になるみたいですぞ。

全然頭働いてないですけど・・・

遅くなりましたが、No.1は、コピーを勢い余ってやってしまったので、式がおかしかったのに、差し引いて読んでくださってありがとうございます。

お礼

数学的帰納法ですか。それはすっかり忘れていました。
整数問題で、しかも漸化式とあっては真っ先に思いつかなければならないですね。
（もうすぐテストだというのに…。）
試しに僕もやってみます。
ありがとうございます。
下の方で、ぐじゃぐじゃやっていますが、帰納法でできるなら簡潔ですね。

あ、隣接3項間で重解のときについては学校でも習いましたので、さらに自分で勝手に一般項式も求めていたので知っていました。
お忙しいときにどうもすみませんでした。