- ベストアンサー
多項間漸化式
stomachmanの回答
- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
masuo_kunさん > 「余り」はｎの式 大したことないですよ。下記をご覧じ。 Ωを既知の数列とするとき、 (1) A(n)=αA(n-1)+Ω(n-1) (α≠1) という漸化式の一般項は (2) A(n)=(α^n)A(0)+(Σ{j=0～n-1}(α^j)Ω(n-1-j)) と表されます。 特にΩ(n)=ωのとき、漸化式は (1') A(n)=αA(n-1)+ω であって、 (2') A(n)=(α^n)A(0)+ω((α^n)-1)/(α-1) =(α^n)(A(0)+ω/(α-1))-(ω/(α-1)) という一般項を持ちます。これはP=A(0)+ω/(α-1), p=-(ω/(α-1))とおけば (2'') A(n)=(α^n)P+p と書けます。α=1の場合はもっと簡単ですね。 (3) B(n+1)-βB(n) = α(B(n)-βB(n-1))+Ω(n-1) という漸化式を考えます。 (4) A(n)=B(n+1)-βB(n) と定義することによって、 (2) A(n)=αA(n-1)+Ω(n-1)=(α^n)A(0)+(Σ{j=0～n-1}(α^j)Ω(n-1-j)) と表せます。さて、Aの一般項が分かったので、(4)を用いて漸化式 (5) B(n) = βB(n-1)+A(n-1) が得られた。(5)の一般項は、(2)によって、 (6) B(n) =(β^n)B(0)+(Σ{j=0～n-1}(β^j)A(n-1-j)) です。特にΩ(n)=ωのとき、 (6') B(n) =(β^n)B(0)+(Σ{j=0～n-1}(β^j)(α^[n-1-j])P+p) =(β^n)(B(0)+P/(β-α)+p/(β-1))-(α^n)P/(β-α)-p/(β-1) となります。 漸化式(3)を整理すると (3') B(n+1)-(α+β)B(n)+αβB(n-1)= Ω(n-1) ですから、一般に (7) B(n+1)-bB(n)+cB(n-1)= Ω(n-1) の形の漸化式は全てこのやり方で扱えることが分かる。連立方程式 b=α+β c=αβ が解ければα, βが決まり、これは α^2-bα+c=0 の一つの解を求めることで解けます。 同様にして (8) C(n+2)-βC(n+1)+γC(n)=α(C(n+1)-βC(n)+γC(n-1))+Ω(n-1) も (9) A(n)=C(n+2)-βC(n+1)+γC(n) と定義すると (1) A(n)=αA(n-1)+Ω(n-1) となり、その一般項は(2)。従って、 (10) C(n+2)-βC(n+1)+γC(n)=A(n) で定義されるCの一般項を求めれば良い。これは既に解いてあります。 かくて、 (8') C(n+2)-(α+β)C(n+1)+(αβ+γ)C(n)-αγC(n-1)=Ω(n-1) という形の漸化式の一般項が求められた。だから一般に (9) C(n+2)-bC(n+1)+cC(n)-dC(n-1)=Ω(n-1) は、 b=α+β c=αβ+γ d=αγ という連立方程式が解ければ一般項が求められ、これは３次方程式 α^3-bα^2+cα-d=0 の一つの解を求める問題に帰着します。 D(n+3)-βD(n+2)+γD(n+1)-δD(n)=α(D(n+1)-βD(n+1)+γD(n)-δD(n-1))+Ω(n-1) も全く同様で、従って一般に漸化式 D(n+3)-bD(n+2)+cD(n+1)-dD(n)+eD(n-1)=Ω(n-1) の一般項は４次方程式を解ければ求められる。 しかし、 E(n+4)-bE(n+3)+cE(n+2)-dE(n+1)+eE(n)+fE(n-1)=Ω(n-1) から E(n+4)-βE(n+3)+γE(n+2)-δE(n+1)+εE(n)=α(E(n+3)-βE(n+2)+γE(n+1)-δE(n)+εE(n-1))+Ω(n-1) を満たすα,β,...,εを得るには、 b=α+β c=αβ+γ d=αγ+δ e=αδ+ε f=αε を解く必要があり、これは一般に５次方程式の一つの解を求める問題になります。
- noname#598
関連するQ&A
- だれか隣接3項間漸化式について教えてください。
中年男性です。いま数列の勉強をしています。「なるほど高校数学 数列の物語」という読本を 読んでいるのですが、手に負えないので質問させてもらいました。 漸化式 A1=2, A2=3, An+2=5An+1－6An n>=1 ・・・(1) を満たす数列が特性方程式X＾2=5X-6の解 Ｘ=2、X=3 から 2＾n-1 と3^n-1に なることは実際に確かめて確認して納得したのですが、続くくだりから判らなくなって しまいました。 そのくだりとは“そこで次に問題となるのが、上記のような等比数列以外にこの 漸化式を満たす数列があるのか、ということです。 結論からいうと、特性方程式が異なる2つの解をもつときは、特性方程式の解を 公比とする等比数列の組み合わせを考えるだけで十分です。このことは次の ようにして判ります・・・” と書いてあり特性方程式の解以外にないことの証明が始まるものと期待して読み進めたの ですが、漸化式の変形が始まり結局 An+1－2An=(A2－2A1)3＾n-1 n>=1 ・・・(2) An+1－3An=(A2－3A1)2＾n-1 n>=1 ・・・(3) という式になり、(2)式から(3)式を引くことで、 An=(A2－2A1)3^n-1－(A2-3A1)2^n-1 n>=1 となり、条件A1＝2、A2=3を代入して一般項は An=-1×3^n-1＋3×2^n-1 n>=1 ・・・(4) となりました。 これで特性方程式の解から導かれる数列以外に解がないことの 証明になるのでしょうか。また数列2^n-1や数列3^n-1が漸化式を 満たすことはすでにnに1、2、3・・・と代入して確認したのですが 一般項が(4)式であるということはどういうことなのでしょうか。 (4)式にnに1、2、3・・・と代入して確認していませんが(成立するのでしょうが) このあたりの事情がよく判りません。 どなたか解説して戴けないでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 漸化式における特性方程式
はじめまして。 現在高校三年生で数学を勉強している文系です。 漸化式の分野で、「特性方程式」というものが出てきました。 参考書や検索して出たページ、過去の質問を参照しましたが、 途中までは理解できるものの、最後のところが理解できません。 というのは、 a_(n+1) = p(a_n) + q …(1) という漸化式が与えられた時、 a_(n+1) - α = β(a_n - α)…(2) と変形できればこの数列は等比数列としてあらわすことができ、 a_nの一般項も求められる。 (2)を展開して係数比較をしていくと P=β , -αβ+α=q より αは x=px+q の解であることがわかる。 これを特性方程式と呼ぶ ここまでは理解できました。(もしおかしいところがあったら指摘してください) しかしその後の このαの解を(1)の漸化式の両辺から引くと… という個所から先が理解できません。 たしかに、(2)の a_(n+1) - α = β(a_n - α) という式でαに解を入れれば一般項を求められるのはわかりますが (1)の式 a_(n+1) = p(a_n) + q の両辺からαを引くと、 a_(n+1) - α = p(a_n) + q - α で(2)の式とは異なってしまい、等比数列と見ることはできなく なってしまいませんか? もしかしたらすごく単純なところを見逃しているのかもしれませんが、 この質問についての回答、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 3項間漸化式の解き方（特性方程式が虚数解）
皆様、こんにちは。 特性方程式が虚数解を持つときの漸化式の解き方を教えてください。 今、 3a[n+2]+2a[n+1]+4a[n]=0 a[1]=2 a[2]=3 という漸化式を解いているのですが、a[n]の一般項を実数で出すことができません。 どなたか教えてください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ３項間漸化式について
３項間漸化式を解くときには、特性方程式を用いるのが定石だと思いますが、いろんな参考書を見ると、pa(n+2)=qa(n+1)+ra(n) (pqr≠0)となっています。一回、q=0のとき、特性方程式を用いたのですが、（たぶん）漸化式の条件を満たしていました。q≠0の必要性ってあるんですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 漸化式の解法を教えて下さい
a[n+2]+a[n]=0 a1=0 a2=1 という漸化式の問題が解けなくて困っています。 特性方程式の解が虚数になることは分かったのですがそれ以降が全く進まない状況です。 分かる方居ましたら教えて頂けると嬉しいです。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 以下のような、漸化式が2次式の場合ってどう計算したらいいのでしょうか？
以下のような、漸化式が2次式の場合ってどう計算したらいいのでしょうか？ 以下の漸化式で表される数列a(n)の一般項を言いなさい。 a(1)=9/5,a(n+1)={a(n)}^2-5/2*a(n)+3 特性方程式でやってみたり、移項したり因数分解したり平方完成もしてみたのですが、 うまくいきません。
- 締切済み
- 数学・算数
- Z会の今まで見たこともない漸化式からある不思議な関連を発見
とても不思議と僕は思っておりますので、ちょっと長くなりますが、どうかお付き合いください。 Z会の問題をヒントに、次のことを発見しました。 a[1]=1 , a[2]=4 a[n+2] - 3a[n+1] + a[n] = 0 ⇔ a[n]<a[n+1] , a[1]=1 a[n+1]^2 - 3a[n]a[n+1] + a[n]^2 = 5 という、漸化式の不思議な同値性です。 ちなみに、{a[n]}={1,4,11,29,76,199,521,…} (⇒)を示すのは比較的簡単です。見通しよくするために構成的に証明してみます。 t^2-3t+1=0の解をα,βとすると、α+β=3,αβ=1 a[n+2] - αa[n+1] = β(a[n+1] - αa[n]) よって、 a[n+1] - αa[n] = β^(n-1) (4 - α) 同様に、 a[n+1] - βa[n] = α^(n-1) (4 - β) これらをかけて、整理すると、 a[n+1]^2 - 3a[n]a[n+1] + a[n]^2 = 5 また、a[n]<a[n+1]は数学的帰納法で示すことが出来ます。 しかし、反対方向の証明がわかりません。 数列の正体は、 a[n]={(1+√5)/2}{(3+√5)/2}^(n-1) + {(1-√5)/2}{(3-√5)/2}^(n-1) なので、それを仲介して大量の計算をすれば証明できるかもしれませんが、見通しよくありません。 a[n+2] - 3a[n+1] + a[n] = 0 という漸化式の解空間は、2次元線形空間になります。つまり、二つの解の和も解だし、一つの解の実数倍も解だし、第一項と第二項が定まれば全部の項が定まるので2次元です。 a[1]=1 , a[n+1]^2 - 3a[n]a[n+1] + a[n]^2 = 5 という2項間漸化式は、 a[n]の値からa[n+1]の値を求めるとき、2つに分岐しますが、それを適当に定めることによって、3項間線形漸化式に帰着されるのはなぜでしょうか？ どのような構造があるのでしょうか? http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4936699.html で質問させていただいたことと関連して、背景が気になります。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
詳しい回答ありがとうございます。 印刷してじっくり読みたいと思います。 なんか、話がだいぶ広がってきましたね。 わくわくしてまいりました。 一つ答えていただけるならば「Ωを既知の数列とするとき」というのがよく分かりませんので教えていただきたいです。