中学数学、三角形の問題

質問

困っていますので、どうぞ教えて下さい。添付している図で、ADが∠Aの２等分線であるとき、BDの長さを教えて下さい。解答するにあたり、覚えていないと解けない公式や条件などがありましたら、一緒に教えて下さい。よろしくお願いします。

回答No.2

atkh404185 · ベストアンサー

△ＡＢＣで，
ＡＤが∠Ａの二等分線のとき、
ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ
が成り立ちます。

この定理を使うと、
ＡＤが∠Ａの二等分線だから、
ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣ＝１６：１２＝４：３
よって、
ＢＤ＝(４/４+３)ＢＣ＝(４/７)×２１＝１２ (cm)
になります。

Ｄから辺ＡＢ，ＡＣにそれぞれ垂線ＤＥ，ＤＦをひくと、
∠ＡＥＤ＝∠ＡＦＤ＝９０°
ＡＤが、∠Ａの二等分線だから
∠ＥＡＤ＝∠ＦＡＤ
ＡＤ＝ＡＤ　（共通）
直角三角形の斜辺と他の内角がそれぞれ等しいから
△ＡＥＤ≡△ＡＦＤ
これより、
ＤＥ＝ＤＦ
が成り立ちます。

△ＡＢＤと△ＡＣＤで、底辺をＡＢ，ＡＣにして考えると、
高さは、それぞれ、ＤＥとＤＦです。

三角形の面積の比は、高さが等しいとき、
底辺の長さの比になります。
これから、
△ＡＢＤ：△ＡＣＤ＝ＡＢ：ＡＣ　・・・・・・（１）

また、△ＡＢＤと△ＡＣＤで、底辺をＢＤ，ＤＣにして考えると、
高さは、ともにＡから辺ＢＣに引いた垂線の長さです。
これも、高さが等しいから面積の比は底辺の長さの比になり
△ＡＢＤ：△ＡＣＤ＝ＢＤ：ＤＣ　・・・・・・（２）
（１）、（２）より
ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ
になります。

お礼

ありがとうございます。二等分線の定理、よくかわりました。理解できて、すごくスッキリしました。ありがとうございました。

回答No.3

178-tall

参考 URL
/ 三角形の内心　　関連問題

　　↓　これを使えばとけそうだが、なぜ？

「三角形ABCのの二等分線と対辺BCの交点をDとすると、BD：DC = AB：AC　・・・(＊)であることが知られています。」

参考URL：

http://www.riruraru.com/cfv21/math/incenter.htm

お礼

ありがとうございます。参考URLの「三角形の各頂角の二等分線は1点で交わる。この点を内心と言う。」は勉強になりました。これからの数学の勉強に役に立つことと思います。惜しみない情報を教えていただき、ありがとうございました。心より感謝いたします。

回答No.1

shintaro-2

三角形をADで折り返して、
ABとCが重なったところをC'とします。

そうすると、△DC’Bと△ADBは相似になります。
　（何故かは、キチンと押さえてください）

後は、BDをXとして、相似比を考えれば解けます。

お礼

すごく早い時点での回答、ありがとうございました。回答して頂き、優しさに感謝いたします。ありがとうございました。