正６面体をなす６枚の正方形の四隅を、三角形の隙間

質問

ができるように互いにつなげることによってできる立体図形は、はじめの正６面体と双対の関係にあるといってよいのでしょうか。

回答No.10

178-tall · ベストアンサー

>当面、この関係の変化が双対ではないのなら、ないとわかればよいのですが・・・

前出の参考 URL に、

>外側の白い正多面体の各面の真ん中の点を頂点にするような多面体はまた、正多面体になっています。
> …
>正六面体の場合は中に正八面体が、正八面体の場合は中に正六面体が現れます。

とありますね。

これは、正六面体の「双対」が正八面体であることを意味します。
参考 URL には特記してませんが、正六面体の「双対」多面体は正八面体だけ … なのです。

お礼

お付き合いいただきましてありがとうございました。

回答No.14

178-tall

正６面体の双対多面体をターゲットにした「手芸」をなさっている、とは想像してましたが、No.1 さんの図面を拝見して、想定を超えた複雑さに改めてビックリしました。

「切り貼り」では、元の頂点を温存したまま新たな頂点を追加することになり、双対多面体から遠ざかっていくのは当然。

もし双対多面体が狙いなら、「可塑性ゴム膜」のモデルなどを変形していくのが良さそうです。
正６面体のの各面の中心あたりをつまんで引っ張り、もとあった頂点部分を平らにしてしまうと、正８面体のできあがり。

お礼

おっしゃる通り手芸です。双対とは別の関係のようです。自分なりに研究してみます。

回答No.13

kagakusuki

数え間違えました。

>14面の正方形と8面の正三角形から成る22面体になるだけで、正6面体にはなりません。

ではなく、正しくは

「6面の正方形と12面の長方形と8面の正三角形から成る26面体になるだけで、正6面体にはなりません。」

です。
　いずれにせよ元の立体である正6面体にならない以上、双対の関係にはなっていない事に変わりはありません。

回答No.12

kagakusuki

>四角形同士の結合に関して辺同士が頂点同士に対応していることを双対とは言わないのでしょうか。

　既に違うという事を回答した筈であるにもかかわらず、何故、その様な事を双対ではないかと考えるのか解りません。
　既に回答No.11において

>双対とは、元の多面体の各面の中心同士を辺で結んだ際に出来る多面体であって、

>新たに出来た14面体は、元の6面体の面の中心だけではなく、辺の真ん中の点をも結んでおりますので、正6面体の双対ではありえません。

と述べた筈ですが、質問者様は回答を御覧になられないのでしょうか？
　又、回答No.11に貼った参考URLのページにも、

>双対多面体（そうついためんたい）、ある立体の頂点と面を入れ替えた立体のことをいう。
>具体的には、面の重心を新たな頂点とし、辺で接する面の重心同士を辺で結び（したがって辺の数は変わらない）、頂点で接する面の重心を結ぶ多角形を面とする。

と冒頭部分に書かれているというのに、それも御覧になられないのでしょうか？

>四角形同士の結合に関して辺同士が頂点同士に対応していること

を双対関係にあると考えておられるのであれば、質問者様が考えておられる14面体の各辺の中心点同士を結んだ際に出来る多面体がどの様な多面体になるのかを考えてみて下さい。
　14面の正方形と8面の正三角形から成る22面体になるだけで、正6面体にはなりません。
　同じ操作を行っても元の多面体にはならないのですから、多面体の場合において

>辺同士が頂点同士に対応していること

は、双対の関係になっていないという事です。

お礼

私の理解能力不足でした。何か双対というものが特別の効用があるのだろうと思っていました。私の考えていた関係は双対ではないということでしたが、こういう関係には何か名称があるのでしょうか。

回答No.11

kagakusuki

回答No.1、8です。

>この場合６枚の正方形が辺同士で結合していたのが正６面体で、新しくできた（いま私の誤りをご指摘いただいた）１４面体は頂点同士で結合していますが、この辺での結合が頂点での結合に対応していることは双対ではないのでしょうか。

　双対とは、元の多面体の各面の中心同士を辺で結んだ際に出来る多面体であって、頂点同士を結んだ際に出来る多面体などではありません。
　回答No.1に添付画像を追加いたしましたのでご覧下さい。
　画像の左側に描かれている多面体が御質問文に有る操作によって出来る14面体で、薄い緑の斜線で網掛されている面が「正方形の四隅の直角2等辺三角形の部分」を折り曲げた際の裏面で、オレンジ色の斜線で網掛されている面が「正6面体の頂点を開いた事によってできる隙間の部分」です。(水色の線で網掛されている面は「元の正方形の表面の一部」です)
　御覧頂ければお解りになられるかと思いますが、新たに出来た14面体は、元の6面体の面の中心だけではなく、辺の真ん中の点をも結んでおりますので、正6面体の双対ではありえません。
　又、その14面体の各面の中心同士を辺で結ぶ事によって出来る、その14面体の双対となる多面体を赤線で描いたのが画像右側の図で、御覧頂ければお解りになられるかと思いますが、正6面体の各面に「底面の辺の長さに比べて高さの低い正4角錐」を乗せたような形状の24面体となるだけで、正6面体にはなりませんから、この事からも質問者様が考えておられる14面体は正6面体の双対などではない事が判ります。

【参考URL】
　双対多面体 - Wikipedia
　　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E5%A4%9A%E9%9D%A2%E4%BD%93

お礼

四角形同士の結合に関して辺同士が頂点同士に対応していることを双対とは言わないのでしょうか。繰り返しですみません。

回答No.9

178-tall

>… もう少し勉強してみたいと思います。

「双対の関係」について、参照 URL のたぐいなど、ご覧になったことはありませんか？
　　　　　　　　　　　　　　　↓

参考URL：

http://ds.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~math/toybox/polyhedron_soral/explanation/037_4.html

お礼

辺と辺との関係が頂点と頂点の関係になっているという事実を理解していただきたかったのですが、この事実を理解していただけないので、何も知らないのだから、ただただ勉強しろと言われているような感じです。わたしは紙を四角く切って模型を作っているのですが、どう考えても冒頭の関係の変化は事実と思えます。当面、この関係の変化が双対ではないのなら、ないとわかればよいのですが・・・当方の困惑ぶりをご理解いただければ幸いです。

回答No.8

kagakusuki

回答No.1です。

>４隅を一点でつないだ場合でもダメでしょうか。

　回答No.1で申し上げました通り、それでは四隅の直角二等辺三角形を折り曲げて1点で繋ぐ事によってできる、元の正方形の半分の面積を持つ正方形と、元の正方形の中央部分に残っている「元の正方形の半分の面積を持つ正方形」が、同一平面上でぴったりと重なるだけであり、四隅を持ちあげる事によってできる4個の直角二等辺三角形では四角錐の形になりませんし、その直角二等辺三角形の面は、正6面体の頂点を開いた事によってできる隙間の部分の正3角形の面とは同一平面上にはありませんから、質問者様が考えておられるやり方では正8面体にはなりません。
　回答No.1で申し上げました通り、正６面体の双対は正8面体なのですから、質問者様が考えておられるやり方では正8面体にはならない以上、はじめの正６面体と双対の関係にはなりません。

>最終的な立体図形は正方形の６面と（隙間も面と考えれば）三角形の６面の計１２面からなります。

　？？？・・・
　正６面体の頂点は8つあるのですから、隙間の三角形が8面で、それに加えて四隅が折りたたまれる事によって面積が元の半分になった正方形が6面の、合わせて14面体になるのではないのでしょうか？

お礼

私の間違いでした。１４面体でした。初歩的な誤りで申しわけございません。
改めて伺いたいのですが、この場合６枚の正方形が辺同士で結合していたのが正６面体で、新しくできた（いま私の誤りをご指摘いただいた）１４面体は頂点同士で結合していますが、この辺での結合が頂点での結合に対応していることは双対ではないのでしょうか。少なくとも私の疑問の対象である図形を正しくご判断いただいたのでほっとしております。

回答No.7

178-tall

>最終的な立体図形は正方形の６面と（隙間も面と考えれば）三角形の６面の計１２面からなります。

これは正多面体じゃないので、「正６面体と双対の関係にある」とはいえない。

>正６面体の対面する 2 正方形のペアにて、一方の 4 頂点を他方の 1 頂点に辺で結べば正８面体の「半身」になる、で行き詰まり。

「半身」を二つ作れば「全身」。

　「正６面体の対面する 2 正方形のペア」の間を結ぶ 4 本の辺に中間節点を設け、
　　新設節点をぐるりと巡り辺で結ぶ。
　「対面 2 正方形のペア」をそれぞれ 1 頂点に縮退させる。

… としてできた多面体が正８面体の「全身」です。
これぞ「正６面体と双対の関係にある」正多面体。

お礼

必ずしも納得できない（あなたの御教示に関してではなく私の知識に関して）ので、もう少し勉強してみたいと思います。

回答No.6

178-tall

>私の説明がほかの方にも伝わらないのか知りたいと思いました。

少なくとも、当方にはチンプンカンプン。

正６面体の対面する 2 正方形のペアにて、一方の 4 頂点を他方の 1 頂点に辺で結べば正８面体の「半身」になる、で行き詰まり。
ギブアップです。

お礼

まず、３枚の正方形で頂角をつないで３角形の隙間を作るというのが理解されないのでしょうか。次に残りの３枚を同様に一枚ずつ３角形の隙間ができるように頂角同士をつなげば、最終的３角形の隙間が６個ある立体図形になります。

補足

最終的な立体図形は正方形の６面と（隙間も面と考えれば）三角形の６面の計１２面からなります。

回答No.5

178-tall

>６枚の正方形を３角の隙間ができるように頂点同士でつなげるということがそれほど　想像しにくいことなのでしょうか。

同じ説明を繰り返されたところで、「どうつなげる」のか、それらしき案すら浮かびません。

… ので、当流一案。

正６面体グラフ {1 ～ 8} にて、
(1) 頂点対 {1, 5} と {3, 7} をそれぞれ合体。
　　頂点個数が 8 つから 6 つへ減る。
(2) 頂点対 {2, 4} と {6, 8} にそれぞれ新たな辺を追加。
　　面個数が 6 つから 8 つへ増える。
これで、双対グラフができた。

お礼

残念ながら、せっかくのご教示と私の疑問が結び付きません。私の説明がほかの方にも伝わらないのか知りたいと思いました。

回答No.4

178-tall

トポロジー不明のまま長々と描かれても、不可解のままになりそう。

一つの正四角形面を選び、その頂点に時計回りの順番 1, 2, 3, 4 を振り、それに対面する正四角形面には頂点 1 につながっている点から同じ向きに順番 5, 6, 7, 8 と振る。

その 8 頂点のどの点対が合体し、残りの辺はどの点対間になるのか、リストを示してくださりゃ、了解できるかも～。

お礼

６枚の正方形を３角の隙間ができるように頂点同士でつなげるということがそれほど想像しにくいことなのでしょうか。まずは３枚の正方形で３角のすきまができるようにつなげててみてください。もちろん数学的（？）にです。実際には細い針金のようなものが必要でしょう！