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数学の質問です。

数学の平方の差の素因数分解の問題です。この問題の解き方をくわしく教えて下さい。 1) Xの8乗-1 2)8Xの2乗-1/8の2乗 3)9Aの2乗-(2A-1)の2乗 4)(X-2Y)の3乗-Xの2乗(X-2Y) 5)-4(2X-Y)の2乗+9(3A+Y)の2乗 少し多いですが、回答よろしくお願いします。

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質問者さんの問題の書き方は数学的に統一が取れていなく問題があります。 つまり、回答者により問題の式が異なった式と受け取られ、その結果、解答が複数通り出てしまいます。 1) Xの8乗-1 (x^8)-1 の意味で x^8-1 とお書きなら、(a^3)-1=(a-1)((a^2)+a+1) の公式を使って x^8-1=((x^2)-1)((x^4)+(x^2)+1)=(x+1)(x-1)((x^4)+2(x^2)+1-x^2) =(x+1)(x-1)((((x^2)+1)^2)-x^2) (a^2)-b^2=(a+b)(a-b)の公式を使って =(x+1)(x-1)((x^2)+1+x)((x^2)+1-x) =(x+1)(x-1)((x^2)+x+1)((x^2)-x+1) 書き方に誤解をされない場合に限って =(x+1)(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1) と書いたりします。 2)8Xの2乗-1/8の2乗 この書き方は問題があります。 通常の数学的な解釈では 8(x^2)-(1/8^2) または 8(x^2)-(1/8)^2 の意味となります。 でも、これでは因数分解が有理数の範囲ではこれ以上できません。 無理数((√2)のような数)が係数にでてきても許容する因数分解なら因数分解は可能です。でも通常の因数分解の問題では(特に指定がなければ)有理数係数の範囲での因数分解にとどめるのが暗黙の了解事項です。 なので、因数分解の問題としては問題作成者の意図からすれば ((8x)^2)-(1/8)^2 としたいところです。 この場合は ((8x)^2)-(1/8)^2=(8x-(1/8))(8x+(1/8))=(64x-1)(64x+1)/64 と因数分解できます(有理係数の範囲で因数分解ができる)。 3)9Aの2乗-(2A-1)の2乗 この式の書き方も数学的には次の2通りに解釈されます。回答者に正しい式が伝わるような書き方をしないと式を誤解され解答が2通りに分かれる原因となります。 (9A)^2-(2A-1)^2 9(A^2)-(2A-1)^2 の2通りの式の解釈がされる恐れがある。 前者の場合の因数分解 (9A)^2-(2A-1)^2=(9A-2A+1)(9A+2A-1)=(7A+1)(11A-1) 後者の場合の場合の因数分解 9(A^2)-(2A-1)^2=(3A-2A+1)(3A+2A-1)=(A+1)(5A-1) 4)(X-2Y)の3乗-Xの2乗(X-2Y) これは 「(X-2Y)の3乗-(Xの2乗)(X-2Y)」 と書くべきです。 ((X-2Y)^3)-(X^2)(X-2Y)=(X-2Y)((X-2Y)^2-X^2) =(X-2Y)(X-2Y-X)(X-2Y+X) =-2Y(X-2Y)(2X-2Y) =-4Y(X-2Y)(X-Y) 5)-4(2X-Y)の2乗+9(3A+Y)の2乗 この式も数学的に回答者に式が正しく伝わらない恐れのある式の書き方です。 式の解釈として次の2通りが考えられます。 -4((2X-Y)^2)+9(3A+Y)^2 -((4(2X-Y))^2)+((9(3A+Y))^2) 前者の場合の因数分解 9((3A+Y)^2)-4((2X-Y)^2) =(3(3A+Y)-2(2X-Y))(3(3A+Y)+2(2X-Y)) =(9A-4X+5Y)(9A+4X+Y) 後者の場合の因数分解 ((9(3A+Y))^2)-((4(2X-Y))^2) =(9(3A+Y)-4(2X-Y))(9(3A+Y)+4(2X-Y)) =(27A-8X+13Y)(27A+8X+5Y) (注意) 式の指数部(べき乗)がどの範囲までなのか、誤解を生まないようにしましょう。 手書きの場合は、べき乗(指数部)が右上の肩に小さく書きますので、式が誤ってとられる可能性が少なくなると思います。

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質問者からのお礼

次に質問するときは数学的に統一した質問をするようにします。 回答ありがとうございました。

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  • 回答No.2

1) X^8-1 =(X^4)^2-1 =(X^4-1)(X^4+1) ={(X^2)^2-1}(X^4+1) =(X^2-1)(X^2+1)(X^4+1) =(X-1)(X+1)(X^2+1)(X^4+1) =(X-1)(X+1)(X^2+1){(X^2+1)^2-2x^2} =(X-1)(X+1)(X^2+1)(X^2+1-X√2)(X^2+1+X√2) =(X-1)(X+1)(X^2+1)(X^2-X√2+1)(X^2+X√2+1) 2) 8X^2-1/8^2 =(2X√2)^2-1/8^2 =(2X√2-1/8)(2X√2+1/8) 3) 9A^2-(2A-1)^2 =(3A)^2-(2A-1)^2 ={3A-(2A-1)}(3A+2A-1) =(A-1)(5A+1) 4) (X-2Y)^3-X^2(X-2Y) =(X-2Y){(X-2Y)^2-X^2} =(X-2Y)(X-2Y-X)(X-2Y+X) =(X-2Y)(-2Y)(2X-2Y) =(X-2Y)(2Y)(2Y-2X) =(X-2Y)(2Y)2(Y-X) =4Y(X-2Y)(Y-X) 5) -4(2X-Y)^2+9(3A+Y)^2 =9(3A+Y)^2-4(2X-Y)^2 ={3(3A+Y)}^2-{2(2X-Y)}^2 ={3(3A+Y)-2(2X-Y)}{3(3A+Y)+2(2X-Y)} =(9A+3Y-4X+2Y)(9A+3Y+4X-2Y) =(5Y-4X+9A)(4X+Y+9A)

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質問者からのお礼

くわしい説明ありがとうございました。わかりやすかったです。 回答ありがとうございました。

  • 回答No.1
  • bran111
  • ベストアンサー率49% (512/1037)

1) Xの8乗-1=(x-1)(x^2+x+1) これは丸暗記すべき公式 2)8Xの2乗-1/8の2乗=(8X-1/8)(8X+1/8) a^2-b^2の公式なんか覚えろよ 3)9Aの2乗-(2A-1)の2乗=[9A-(2A-1)][(9A+(2A-1)]=(7A+1)(11A-1) 同上 4)(X-2Y)の3乗-Xの2乗(X-2Y)=(X-2Y)[(X-2Y)^2-X^2]=(X-2Y)[-4XY+4Y^2] =-4Y(X-2Y)(X-Y) 5)-4(2X-Y)の2乗+9(3A+Y)の2乗=9(3A+Y)の2乗-4(2X-Y)の2乗 =[3(3A+Y)-2(2X-Y)][3(3A+Y)+2(2X-Y)]=(9A+5Y-4X)(9A+Y+4X) =-(4X-5Y-9A)(4X+Y+9A)

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質問者からのお礼

公式を暗記するように頑張ります。 回答ありがとうございました。

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