確率分布について．

質問

t_nがn次のアーラン分布に従うとき，確率変数exp(-rt_n)はどのような分布に従いますか？ (rは定数)

回答No.1

jcpmutura

アーラン分布は2つのパラメータ
r>0(正数)および
n(正整数)によって定まり、
その確率変数をt_nとすると
t_nの分布関数
G(y)=P(t_n<y)
は
y≦0の時
G(y)=0…………………………(1)
y>0の時
G(y)=1-[e^{-ry}Σ_{k=0～n-1}{(ry)^k}/k!]…(2)
となる

確率変数
e^{-rt_n)
の分布関数をF(x)とすると
F(x)=P(e^{-rt_n}<x)…………………(3)

0<e^{-rt_n}だから
x≦0の時
0<e^{-rt_n}<x≦0となるt_nは存在しないから
0<e^{-rt_n}<x≦0となる確率は0だから(3)から
F(x)=0

x>0の時
e^{-rt_n}<xのとき
-rt_n<logx
r>0だから
t_n>(-logx)/rだから
y=(-logx)/rとすると
F(x)=P(t_n>y)
F(x)=1-P(t_n<y)
F(x)=1-G(y)…………………………(4)

x≧1の時
y=(-logx)/r≦0だから(1)から
G(y)=0だからこれを(4)に代入すると
F(x)=1

0<x<1の時
y=(-logx)/r>0だからこれを(2)に代入すると
G(y)=1-xΣ_{k=0～n-1}{(-logx)^k}/k!]
だからこれを(4)に代入すると
F(x)=xΣ_{k=0～n-1}{(-logx)^k}/k!

∴
確率変数e^{-rt_n)は
分布関数が
x≦0のときF(x)=0
x≧1のときF(x)=1
0<x<1のとき
F(x)=xΣ_{k=0～n-1}{(-logx)^k}/k!
の分布になる