三角関数の問題です。
三角関数の問題です。
cos3θ+sin2θ+cosθ>0を満たすθの範囲を求めよ。ただし、0≦θ<2πとする。
という問題です。次の様に解答したのですが、間違いや、つっこまれそうな所があったら指摘して下さると助かります。
cos3θ=4cos^3θ-3cosθより、
cos3θ+sin2θ+cosθ=4cos^3θ-3cosθ+2sinθcosθ+cosθ
=cosθ(4cos^2θ+2sinθ-2)=cosθ{4(1-sin^2θ)+2sinθ-2}
=cosθ(-4sin^2θ+2sinθ+2)=-2cosθ(2sinθ+1)(sinθ-1)>0
∴cosθ(2sinθ+1)(sinθ-1)<0
(1)cosθ>0のとき、(2sinθ+1)(sinθ-1)は負
2sinθ+1>0,
sinθ-1<0 のとき、これを満たすθの範囲は、0≦θ<π/2,11/6π<θ<2π
2sinθ+1<0,
sinθ-1>0 のとき、これを満たすθは存在しない。
(2)cosθ<0のとき、(2sinθ+1)(sinθ-1)は正
2sinθ+1>0,
sinθ-1>0 のとき、これを満たすθは存在しない。
2sinθ+1<0,
sinθ-1<0 のとき、これを満たすθの範囲は、7/6π<θ<3/2π
(1),(2)から、求めるθの範囲は、0≦θ<π/2,7/6π<θ<3/2π,11/6π<θ<2π
宜しくお願いします。