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微分方程式の解き方

この微分方程式の解き方を教えてください  d^2u/dφ^2 + u = 1/l 楕円の問題で出てきた微分方程式で、uをφの関数として一般解を求めよ、という問題です。 三角関数でおいて解いてみたのですが、そのあとの問題との兼ね合いが悪く、間違っている気がしてなりません。 かなり初歩的な質問かもしれませんがよろしくお願いします。

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  • bran111
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d^2u/dφ^2 + u = 1/l      (1) d^2u/dφ^2 + u =0        (2) の基本解を求める。特性方程式は p^2+1=0 p=±i 基本解は exp(±iφ)=cosφ±isinφ これは基本解をcosφ,sinφに選んでよいことを示している。 (2の一般解ugは ug=c1cosφ+c2sinφ (1)の特殊解usを us=aφ^2+bφ+c とおき、(1)に代入 us'=2aφ, us''=2a 2a+ax^2+bx+c=1/l これより a=0, b=0, 2a+c=1/l ⇒ c=1/l ⇒ us=1/l よって(1)の一般解uは u=ug+us=c1cosφ+c2sinφ+1/l

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質問者からのお礼

やっぱり三角関数型になりますよね…… もうすこし後ろの問題にしっかり取り組んでみたいと思います ありがとうございました

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