次の積分を求めよ

質問

次の積分を求めよ。

∮(x^3 - 8)^(-1) dx

解答解説お願いします。

回答No.2

info222_

∮は特殊な積分（閉ループ積分、周回積分）の記号ですから、普通の積分の記号としては使ってはいけません。⇒　普通の積分では「∫」を使うこと。

f(x)=1/(x^3-8)=1/((x-2)(x^2+2x+4))
=(1/12)/(x-2)-(1/12)(x+4)/(x^2+2x+4)
=(1/12)/(x-2)-(1/24)(2x+2)/(x^2+2x+4)-(1/4)/((x+1)^2+3)

I=∫ f(x)dx
xは実数なのでf(x)の定義域から x≠2、つまりx>2またはx<2
１/(x-2)の積分は絶対値をつけて　ln(|x-2|)
また x^2+2x+4>0
であることから
I=(1/12)ln(|x-2|)-(1/24)ln(x^2+2x+4)-(1/4)(1/√3)tan^(-1) ((x+1)/√3)+C
(ln()は自然対数、Cは任意定数)
=(1/12)ln(|x-2|)-(1/24)ln(x^2+2x+4)-(√3/12)tan^(-1) ((x+1)/√3)+C　...(答)

回答No.1

bran111

I=∫dx/(x^3-8)

被積分関数を部分分数展開する。

1/(x^3-8)=a/(x-2)+(bx+c)/(x^2+2x+4)

と置いてa,b,cを決める。結果は

a=1/12, b=-1/12, c=-1/3

I=∫dx/(x^3-8)=(1/12)∫[1/(x-2)-(x+4)/(x^2+2x+4)]dx

=(1/12)log(x-2)-(1/12)∫(x+4)/(x^2+2x+4)dx=(1/12)log(x-2)-(1/12)J

J=∫(x+4)/(x^2+2x+4)dx=∫(x+4)/((x+1)^2+3)dx

u=x+1, du=dx

J=∫(u+3)/(u^2+3)du=∫[u/(u^2+3)+3/(u^2+3)]du=J1+J2

J1=∫udu/(u^2+3)=(1/2)∫2udu/(u^2+3)=(1/2)∫du^2/(u^2+3)=(1/2)log(u^2+3)

=(1/2)log(x^2+2x+4)

J2＝∫3du/(u^2+3) ::

u=√3vとおく。du=√3dv

J2=∫3√3dv/(3v^2+3)=√3∫dv/(v^2+1)

v=tanθとおくと

dv=dθ/cos^2θ

1/(v^2+1)=cos^2θ

J2=√3∫dθ=√3θ=√3arctan(v)=√3arctan(u/√3)=√3arctan((x+1)/√3)

I=(1/12)log(x-2)-(1/12)J=(1/12)log(x-2)-(1/12)(J1+J2)

=(1/12)log(x-2)-(1/12)[(1/2)log(x^2+2x+4)+√3arctan((x+1)/√3)]

=(1/12)log(x-2)-(1/24)log(x^2+2x+4)-(√3/12)arctan((x+1)/√3