極限公式 limx→0 sinx/x=1

質問

これがなぜ1になるかがわかりません。0に向かっていったら0になると思うのですが、誰か分かりやすく説明お願いします。

回答No.7

statecollege · ベストアンサー

質問の式のように、xが0に近づくとき、分子も分母も0に近づく。このとき、与えられた式（関数）が０に近づくのか、あるいはこの問題のように、０以外の値に近づくかは、分子、分母のどちらがより速く0に近づくかによります。たとえば、x^2/xなら、分子の方がより速いスピードで0に近づくので、極限は0であるし、反対にx/x^2なら、分母の方がより速いスピードで0に近づくので無限大に発散する。x/xなら、分子、分母が同じスピードで0に近づくので、極限は1となる。sinx/xの場合は、x=0の近傍において分子も、分母も同じスピードで0に近づくので、極限は1になるということです。
　なお、xが無限大に発散するときも、分子、分母のスピードの差によって、無限大に発散する場合もあるし、有限値に収束する場合もある。上の例でいえば、xが無限大にいくとき、x^2/xは無限大に発散するし、x/x^2なら、ゼロに収束する。x/xなら、1に収束する。質問の式sinx/xなら、0に収束する。

回答No.6

noname#221368

limx→0 sinx/x=1 　　(1)

よりも、ひどく人工的な例ですが、

　limx→0 x/x = limx→0 1 = 1 　　(2)

は成り立ちますよね？。x＝0の際では、(1)も(2)のようになっているという事です。

　これでは駄目ですか？。

回答No.5

bran111

分子(sinx)、分母(x)とも0に近づくのはわかりますか。その近づき方が同じだというのが

limx→0 sinx/x=1

の言いたいことです。

分母がx^2 だと

limx→0 sinx/x^2＝∞　（プラス側から0に近づける）

となります。つまり分母が分子より早く0に近づくわけです。

分子がsin^2x=(sinx)^2だと

limx→0 sin^2x/x=0

となります。これは分子が分母より早く0に近づくことを示しています。また

limx→0 sin2x/x=2

です。

回答No.4

Willyt

テイラー展開というのをご存じでしょうか。いろいろな関数を多項式で表現できるのです。これを使えば

sinx = x - x^3/3! +x^5/5! + ・・・

となります。

すると　sinx/x = 1- x^2/3 !+ x^4/5! + ・・・

となります。すると　ｘ→0 の場合は第二項以下はすべてゼロになりますから極限値が１になるのは自明ですよね。

回答No.3

jusimatsu

sinθ≒θ　
単位はラジアンな。

回答No.2

noname#212313

高校での証明ですと、以下のようなサイトの説明が参考になるかと思います。

・sinx/xについて覚えておくべき２つのこと
http://mathtrain.jp/sinc

　簡便な証明としては、ロピタルの定理を使う方法があります。f(x)/g(x)の極限値が、分子と分母それぞれを微分したf'(x)/g'(x)で求められるという定理です。ロピタルの定理の証明と使用条件を理解できていれば、使ってもいいでしょう。ただし、高校数学の範囲外だったと思いますので、テストなどでは適さないかもしれません。

　(sinx)=cosx、(x)'=1ですから、lim (sinx)/x=lim (cosx)/1=cos0/1=1/1=1です。

> 0に向かっていったら0になる

　普通はそうなんですが、(sinx)/xはx=0では、分子も分母も0で、0/0ということになります。分母も0のため、いちがいに0とはならないのです。たとえば、(2x)/xを考えると、x≠0のとき(2x)/x=2/1=2で、x→0の極限値も2です。

P.S.

　この他に、0×∞となるような場合も、0とは限らず、要注意です。例えば、(1/x)・xでx→∞を考えると、1/x→0、x→∞ですが、(1/x)・x=1です。(2/x)・xなら2です。いろいろあり得ます。

　同様に注意すべきなのが、∞/∞や∞-∞の形になるものです。いろいろな値になり得ます。

回答No.1

shintaro-2

正確には高校の教科書を読んでいただきたいのですが

θが非常に小さい領域では、sinθ≒θというのは宜しいですか？
（作図すれば理解していただけると思いますが）

とすれば、
（sinθ)/θ≒θ/θ＝１となるのは明らかです。