労働供給量の決定の問題の解説をお願いします

質問

ある消費者の効用関数がU=3・L・Y-2・L^2-Y^2 (Lは余暇、Yは所得)で示され、かつ一時間当たりの賃金が2であるとき、この消費者が効用最大化を図ったときの一日の労働時間は何時間か。
ただし、この消費者は1日を余暇と労働以外に充てないこととする。

ヒントで偏微分を使うと聞いたのですがやり方がわからず、予算制約式を作ってY=48-2LをUに代入し微分するというやり方で答えが出ると思ったのですが三次方程式が残り答えの出し方がわかりません。この問題の解法をできるだけ分かりやすく教えてください。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

予算制約Y=2(24-L)=48-2Lを効用関数

U = 3LY - 2L^2 - Y^2

の右辺のYへ代入するなら、効用関数の右辺はLだけ（１変数）の２次関数になる。それをLで微分して０とおけばよい。微分して得られた式はLの１次式であって（三次方程式とはならない！）、簡単にLの最適値を求めることができる（私の計算によれば、L=14が得られる）。

あなたはラグランジェ法と勘違いしているのではないか？その場合にはラグランジェアン関数Gは

G = 3LY -2L^2 - Y^2 + λ(Y - 48 + 2L)

となるので、GをLとYとλで、偏微分して０とおくと、これらの３つの変数を含む３つの（1次）方程式が出てくるので、３元連立一次方程式を解くことになる。その場合でも３次方程式にはならないので、簡単に解くことができる！

お礼

大変わかりやすくて参考になりましたありがとうございます。・を勘違いしていてU=3L(Y-2)(L^2-Y^2)で計算してしまっていました。