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解決済み

三次関数の問題です。

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  • 質問No.89932
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お礼率 64% (35/54)

一応自分でもやってみたのですが、途中でわからなくなりました。
次の問題です。

Θは0°<=Θ=>90°を満たす定数角とする。三次関数
F(x)=x^3-(3cos^2Θ)x^2+(3cos2Θ)x
が極値を持ち、極大値をMとおくとき、次の各問いに答えよ。

(1) Θのとり得る値の範囲を求め、MをΘで表せ。
(2) (1)の範囲でΘを変化させるとき、Mのとり得る値の範囲を求めよ。

です。よろしくお願いします。
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  • 回答No.1

F’(x)=3x^2-2(3cos^2Θ)x+3cos2Θ
   =3{x^2-2(cos^2Θ)x+cos2Θ}
cos^2Θ=(1+cos2Θ)/2より、
   =3{x^2-(1+cos2Θ)x+cos2Θ}
   =3(x-1)(x-cos2Θ)
F(x)が極値を持つためには、
方程式F’(x)=0が異なる2つの実数解をもつ。
すなわち、cos2Θ≠1
よって、0°<Θ≦90°
また、この条件では、cos2Θ<1より、(増減表省略)
x=cos2Θのとき極大となる。
M=(cos2Θ)^3-(3/2)*(1+cos2Θ)(cos2Θ)^2+3(cos2Θ)^2
 =(1/2)*(cos2Θ)^2*(3-cos2Θ)

(2) cos2Θ=tとすると、0°<Θ≦90° より -1≦t<1
M=(1/2)*(3t^2-t^3)
両辺をtで微分すると、
M’=(3t/2)(2-t)
t=-1のときM=2
t=1のときM=1(最大値なしの状態が避けられることの確認)
t=0のときM=0
これと増減表(略)より、
0≦M≦2
お礼コメント
hitomihanson

お礼率 64% (35/54)

早速のお答えありがとうございました。こんなにシンプルに解けるなんて思ってもいませんでした。ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-06-14 15:48:47
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