フレミングの法則

質問

古典的 電磁気学の基本法則はマクスウェルの方程式です。
この方程式から、フレミングの法則を導くことが出来ますか。
小生はもう年を取り、自分の頭脳で変形するのは無理なのです。

どなたか助けて下さい。数式をここに書くのは困難でしょうが、
ヒントだけでもよろしく。

回答No.4

mmitsukuni

「補足質問への回答」
フレミングの法則，ニュートンの運動方程式，オームの法則などほとんどの法則は経験則です．
これらが発表されたとき現代の相対性理論、量子力学なんぞはありませんでした．
経験則とは言ってもそれまでに分かっている理論と合理的な仮定に基づいて
導いたものなので，その範囲では成立することが示されています．
しかしその後、原子の構造が粒子模型では表せないし，粒子間力も電磁力以外の量子間力
も存在するなどが分かってきて，これらの法則が厳密な意味では成立しておらず，
このため現代の量子力学などが発表され、また，未だに研究中ということになっているのです．

したがって、質問者の「フレミングの力はどこから出てくるのでしょう。」
という問いに答えるのは「どの仮定（法則）に基づいて説明するのでしょうか」
と問いたださねばなりません。

電流と力に関するほとんどの現象が(近似的に)「ローレンツ力の式が成り立つ」
と認められるというので、これが出発点です。
（ローレンツ力の式はフレミングの法則をそのまま含んでます。）
ローレンツ力の式も現実の物質と世界では以下の述べるように厳密には成立しません。
厳密にはおそらく量子論と相対論を組み合わせると(当然超越関数等を含む)
ものすごい式として得られ、これを近似するとローレンツ力の式になるはずです。
ローレンツ力の式はニュートンの運動方程式と電磁方程式，オームの法則を暗黙の前提
としてますが、これらの式も現実世界では近似的にしか成り立ちません。

ニュートンの運動方程式は相対性理論の近似として成立しますが，
これを「相対性理論からニュートンの運動方程式を導ける」とは言いませんね．
なぜなら，相対性理論はニュートンの運動程式が(厳密に)成立しない場合についての
方程式だからです．相対性理論は絶対静止空間が存在しないとか，
時間が観測者個々に異なるとか，重力が質量のみならず空間や光などにも作用する
などの仮定に基づいた理論です．
アインシュタインらは当然ニュートンの運動程式が(ほぼ)成立することは知った上で
相対性理論を構築してますので，相対論の仮定を，絶対静止空間や時間不変や
力が質量のみにしか作用しないと近似したとたんニュートン力学になります．
これは，式を等価変形して導ける式において、例えば
（速度)/(光速)＝0 とおいて近似するとそうなるということです．

もう一つ，「オームの法則」もマックスウェルの電磁方程式からは導けません．
これは，ニュートンの運動程式よりもずっとひどい近似式です(^_^;)
現実の世界に、この式が厳密に成り立つ物質なんぞはありません．
抵抗は熱で抵抗値が変わるし，物質中の電流の流れ方も(表皮効果や
境界条件などがあって)一様ではないし，電流が流れると「必ず」磁力線が
生ずるので，抵抗でも自己インダクタンスは存在し，電磁誘導は起こります．
だからオームの法則も厳密には磁界に関する項が必要ですが，
そんなものを入れたら諸々の式が解けなくなるし，そもそもの前提が
「こういう理想的な仮定をおくとこのような綺麗な式になって
数学的に簡単に取り扱えます」ということのためなのですから・・・

物質の電気的性質はほとんど非線形ですが，これを大胆に線形近似すると
オームの法則やキルヒホッフの法則やフレミングの法則が成り立ち数学的な
解析が可能となります．
100V，100Wの電球の抵抗は100Ωのはずですが実際に常温で測ると10～20Ωです．
トランジスタの電流増幅率なんかは一定ではなく電流で数倍に変化します。
フレミングの法則も厳密に考えると嫌になるくらい面倒ですね。
電線は無限直線でないと磁力線の分布が同心円状でなくなり、また、
磁界に電流が流れる電線が存在するとこれから生ずる磁界で元の静磁界が乱れます。
電線に直径が無視できないくらいあると電流分布や磁界も面倒な式になります。
磁界が乱れると当然フレミングの式から受ける力も(わずかに)異なります。

いろいろ書きましたが、フレミングの法則はそのまま成り立つ原理であって
これを認めないと以後の議論が成り立たないということです。
それで、量子レベルからこれを証明しようとすると、解けたとしても
代数式では表せない超越関数を含むものとなり、厳密には成立しません。

お礼

大変遅くなりましたが、有り難うございました。

色々な法則がありますが、物理学の根本にあるものと、
単なる経験則があるのですね。

しかし単なる経験則と思っていたものが、
後の世に解明される事もあります。
例えば、重力が解明されたり!!

学問を習う人も、教える人も気を付けて考えなければなりませんね。
頭の中が、スッキリしたように思います。

補足

有難うございます。

１．少し誤解があるようですが、大筋とは関係ないので、よいとしましょう。
私は、「オームの法則はニュートンの式とは関係ないように」「フレミングも独立の式」と言いたかっただけなのです。

２．フレミングの式が独立の経験則ならば、一件落着です。

３．しかし、重力の法則が、一般相対論や、その他の理論から出るならば、フレミングの式もどこから導けるかなと想像しました。

もう少し考えます。

回答No.3

mmitsukuni

マクスウェルの方程式(微分形)は，次のようなものですが
１．rotＥ＝－∂Ｂ/∂t　:（電界と磁界の関係）
２．rotＨ＝i＋∂Ｄ/∂t：(電流と磁界の関係)
３．divＤ＝ρ　　：電束と電荷の関係（ガウスの定理）
４．divＢ＝0　　 ：磁束の発散はない

これには「力」に関する式なんぞは全く含まれてないので
これをどういじっても，電流と磁界の力の関係なんぞが
出てくるわけがありません．
ローレンツ力の式は必須です．

補足

明快なお答えをありがとうございます。
体調を崩し入院中なので、お返事が遅れました。

もう一度よく考えて、意見を書かしていただきます。（退院の予定は立っておりません）

ニュートンの方程式 f = ma に重力の式や、、ばね力を代入するように
フレミングの力を入れるのですね。

でも、フレミングの力はどこから出てくるのでしょう。
量子力学や、相対性原理から出てくるのですか。

回答No.2

leo-ultra

＃１です。

> マクスウェルだけでは足りませんか。
> 別の言い方をすれば、ロ-レンツはマクスウェルからは出てきませんね。

原理的にはマクスウェル方程式だけで出てくるはずです。
（私の知っている導出は相対性理論を使いますけれど。）

ただし導出は難しいからファインマンは親切で、
ローレンツ力の式を加えているだけです。

回答No.1

leo-ultra

私も年をとり、式変形はできませんが、
確か、フレミングの法則、つまりローレンツ力は
特殊相対性理論から導かれます。

マクスウェル方程式は“光”を記述方程式なので、
自動的に特殊相対性理論を満たします。

ファインマン物理の電磁気の巻では、
マクスウェル方程式＋ローレンツ力の式F＝q（E＋ｖｘB）
の５つの方程式を電磁気学の基本法則として並べてあります。

もちろんローレンツ力は他から導かれると書いてあったと思います。

補足

有り難うございます。

＞＞マクスウェル方程式＋ローレンツ力の式F＝q（E＋ｖｘB）
の５つの方程式を電磁気学の基本法則として並べてあります。

マクスウェルだけでは足りませんか。
別の言い方をすれば、ロ-レンツはマクスウェルからは出てきませんね。
ご指摘有り難うございます。

＞＞もちろんローレンツ力は他から導かれると書いてあったと思います。

こちらも合わせて、もう少し、考えます。
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沢山の微分記号を含んだマクスウェルの方程式を
一度 使ってみたいのです。

もう少し、格闘して、成功するか、降参するか、またご報告申し上げます。