方程式

質問

No.891479の問題もまだよくわからないのでもし教えてくれる人がいたらおねがいします。

問題で
4＾(x)=(2＾(x＋1))＋aが異なる２つの実数解をもつようなaの範囲はという問題の解き方がわかりません。

2^xをと置いて考えたのですがよくわかりません。

4＾x=2＾x　＊２＋a

参考書には、 X が相異なる正の実数である範囲を求める と書いてるのですがよくわかりません。
基礎から教えてくれませんか？

回答No.2

i536 · ベストアンサー

2^xをYとおき、4^x=(2^2)^x=(2^x)^2=Y^2に注意すると、
問題は次(1)(2)となります。

Y>0 　---- (1)
Y^2＝2*Y＋a　---(2)

式(2)で2*Yを左辺に移項し、
両辺に１を加えて変形すると、次式(3)が得られます。
(Y-1)^2=a+1　---(3)

式(3)をYについて解くと、式(4)でYが求まります。
Y=1±√(a+1)　---(4)

Y(=2^x)はxの単調増加関数なので、
問題の方程式が異なる２つの実数解xをもつためには、
Yも相異なる２つの実数解を持つ必要があります。
従って、式(4)から、式(5)が得られます。
(a+1=0ならYの実数解は1個、従ってxの実数解も1個、
a+1<0ならYの実数解は0個、従ってxの実数解も0個)

a+1>0　---(5)

一方、条件(1)と式(4)から、1±√(a+1)>0、
混合±の+の方は常に条件に合うので無視できるので、
∴√(a+1)<1　---(6)
√の中は0以上でないといけないので、
式(6)から式(7)が得られます。
∴-1≦a<0　---(7)

式(5)(7)より、式(8)が答えになります。
-1<a<0　--(8)

---
式(2)から、いきなり、Yが2つの実数解をもつ条件として、
判別式Dの下記条件を用いても式(5)は求まります。
D=(-2)^2-4*1*(-a)>0

回答No.1

eiji2003

＞2^xをと置いて考えたのですが
ここまでわかっているのなら後はそんなにむずかしくありません。4^x=(2^2)^x=2^(x)^2

2＾xをYとおくと、Y＞０で
与式は
Y^2＝Y＋a
Y^2－Y-a＝０　・・・(1)

あとは
異なる２つの実数解をもつ条件と
Y>０なので2つの解が正である条件を合わせると
答えがでます。

2つの解が正である条件は解と係数の関係を使うと楽ですよ。
2つの解をそれぞれA,Bとすると、
AB＞０かつA+B＞０⇔A>０かつB>０