楕円の周の求め方

質問

楕円の周の求め方を教えてください。

高校時代に習ったような、習っていないような思い出せず気持ち悪いです。
どなたかご存知の方、ご回答お願いします。

回答No.3

TCM · ベストアンサー

▼これは高校では習っていないと思います・・・すんごいことになりますよ。
　さて、一般に曲線上の点の位置ベクトルをrとすれば、曲線は
　　r＝r(t)　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)
というベクトル方程式で表すことができます。ここでtは任意の変数です。曲線上の任意の点で、
　　dr/dt＝lim⊿r/⊿t（limにおいて⊿t→0）　　　(2)
というベクトルをとると曲線に接し、これを接線ベクトルといいます。この接線ベクトルの長さを所定の範囲で積分して、曲線の長さｓを
　　ｓ＝∫√{(dr/dt)･(dr/dt)}dt
　　　＝∫√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt　　　　　　(3)
として求めることができます。
　楕円の中心を原点にとり、ｘ軸方向に2aの長軸、ｙ軸方向に2bの短軸をとると、周上の点(x,y)は、
　　x＝acosθ, y＝bsinθ　　　　　　　　　　　　(4)
と表すことができます。ここでθは原点の周りのｘ軸からの角度で、式(1)の変数tに対応します。式(3)と式(4)より、楕円の周の長さｓは、
　　ｓ＝4∫√{(-asinθ)^2+(bcosθ)^2}dθ
　　　＝4∫√{a^2-(a^2-b^2)(sinθ)^2}dθ
　　　＝4a∫√{1-(a^2-b^2)/a^2･(sinθ)^2}dθ　　　(5)
で与えられます。ただし積分範囲は０からπ/2です。式(5)はおなじみの第２種完全楕円積分を含んでいます。いま、
　　k^2＝(a^2-b^2)/a^2　　　　　　　　　　　　　　　(6)
とおくと、求める曲線の長さｓは、
　　ｓ＝4aＥ(k)　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7)
となります。ここで、第２種完全楕円積分Ｅ(k)は、
　　Ｅ(k)＝π/2[1－(1/4)k^2－(3/64)k^4－･･･
　　　　　　･･･－{(2r-1)!!/(2r)!!}^2･k^2r/(2r-1)－･･･]　(8)
で与えられます。ただし、n!!は、
　　nが奇数のとき　n!!＝n(n-2)(n-4)･･･3･1
　　nが偶数のとき　n!!＝n(n-2)(n-4)･･･4･2
　　nが零のとき　　0!!＝1　　　　　　　　　　　　(9)
と定義します。

　というようなわけで、ベクトル解析とか楕円積分とかの知識が必要です。やっぱり大学レベルの話だと思います。また、上記説明の中にも間違いがあるかもしれませんので、じっくりと検算をお願いいたします。

お礼

ＴＣＭさん、詳しいご回答ありがとうございました。

ほんと、すんごいことになっていますね。

回答No.4

noname#420

楕円の周の求め方は高校時代には習っていません。
>高校時代に習ったような、習っていないような思い出せず気持ち悪いです
高校時代に習ったのは、標準的な楕円の方程式とグラフの関係を習っただけだと思います。

回答No.2

noname#151056

高校では習ってないはずです。

というのは、楕円の周はきっちりと求まらないからです。
積分を使って近似値として求めるしかないはず。

しかもここらへんは楕円関数論とかの話に入っていく
と思います。初等関数では表せない世界の話ですから
もう大学レベルでしょう。

興味があれば楕円関数論の本などを読んでみては
いかがでしょうか。私はパスします (^-^;;;;

回答No.1

Naka

◆ごめんなさい、「専門家」と言っておいてちょっと「自信なし」なんですが…
楕円の周の長さって、やりましたっけ？？
方程式や焦点の座標などは習いますが…

わからないので、自分で出してみました。
式が書きづらいので、式を読みますね。
長軸の長さを２ａ、短軸の長さを２ｂとします。
そのとき、
「２πｂ×ルートｂ分のａ」でどうでしょうか？

間違いでしたら、ご容赦ください。 m(_ _)m