偏導関数の求め方を教えてください。

質問

分からなくて困っています。
この問題の解き方を教えてください。
皆様どうかよろしくお願いいたします。

回答No.1

yyssaa

(1)f=(x^2+xy)^(1/2)
fx=(1/2)(x^2+xy)^(-1/2)(2x+y)=(x+y/2)(x^2+xy)^(-1/2)
=(2x+y)/{2√(x^2+xy)}
fxx=(x^2+xy)^(-1/2)-(1/2)(x+y/2)(x^2+xy)^(-3/2)(2x+y)
={x^2+xy-(1/2)(x+y/2)(2x+y)}(x^2+xy)^(-3/2)
=(1/4){4x^2+4xy-(2x+y)^2}(x^2+xy)^(-3/2)
=-(y^2/4)(x^2+xy)^(-3/2)=-y^2/{4(x^2+xy)√(x^2+xy)}
fy=(1/2)(x^2+xy)^(-1/2)x=(x/2)(x^2+xy)^(-1/2)
=x/{2√(x^2+xy)}
fyy=-(1/2)(x/2)(x^2+xy)^(-3/2)x
=-(x^2/4)(x^2+xy)^(-3/2)=-x/{4(x+y)√(x^2+xy)}
(2)f=log(x^2+y^2)
fx={1/(x^2+y^2)}2x=2x/(x^2+y^2)
fxx={2(x^2+y^2)-2x*2x}/(x^2+y^2)^2
=2(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2
fy={1/(x^2+y^2)}2y=2y/(x^2+y^2)
fyy={2(x^2+y^2)-2y*2y}/(x^2+y^2)^2
=2(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2
(3)f=xsin(y/x)
fx=sin(y/x)+xcos(y/x)*(-y/x^2)
=sin(y/x)-(y/x)cos(y/x)
fxx=cos(y/x)*(-y/x^2)+(y/x^2)cos(y/x)
+(y/x)sin(y/x)*(-y/x^2)=-(y^2/x^3)sin(y/x)
fy=xcos(y/x)(1/x)=cos(y/x)
fyy=-sin(y/x)(1/x)=-(1/x)sin(y/x)