バナッハタルスキーのパラドックス

質問

球体を分割してそれを組み合わせると一つの球体が二つの球体にすることができるそうですが、

WIKIでみてもそれしか理解できませんでした。

二つの球体になっている時は元の球体に比べて小さくなっているのですか？それとも中が空洞になっていて大きさは変わらないのですか？

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

「中身の詰まった」（3次元）球体を適当に有限個に分割して、それぞれを平行移動、回転して移動させると「元の球と体積の同じ」「中身の詰まった」球体が2つできる、という定理です。

このことから、3次元の「全ての」有界な領域に対し「通常の」体積をするような方法はないことがわかります（通常の、ということの意味をここでは詳しく述べませんが）。つまりは元の球体を有限個に分割した段階で一度体積を定義できないような図形になり、その図形を適当に並び変えることで元の球体と体積の等しい球が2つできる、という事になっています。

wikiにも書いてありますが、
＊砂田利一 『バナッハ・タルスキーのパラドックス』 岩波書店
を読むと、定理の背景の雰囲気が書いてあるし、更に読みたい人のために証明自体も書いてあるので読んでみると良いかも。

お礼

回答ありがとうございます

うーん興味深い

想像がつかない　奥深さがありそうですね