この写真の問題なんですけど、純粋に分からないです

質問

この写真の問題なんですけど、純粋に分からないです

例えばaが決まればk,tは決まるはずなので、kやtはaの関数で表せるはずだと思い、交点のy座標が等しいことと、共通接線を持つことから2つの等式が得られ、sinat,cosatが表せるので、そこからtanatを求めてみました。体積自体はバームクーヘンを使って求積しましたが手詰まりです。

ご教授お願いします！
具体的な解答をご提示していただけると嬉しいです……

回答No.13

tmpname · ベストアンサー

ちょっと予め書いておく

Vについてはさっきも書きましたが微妙に違うのでもう一度。
その上で、

＊a→∞で、tan(at)→0なので、
で、0<at<π/2 (何故なら0<t<π/(2a)）だから、t→0。
＊でe^t=kcos(at)だから、k=(e^t)/cos(at)なので、k→1

そこで、まずVの式に現れるat・tan(at) /(a^2)という部分は、
at・tan(at) /(a^2)
= (t^2) * (at) * tan(at) / ((at)^2)
= (t^2) * [tan(at) / (at)]
= (t^2) * [sin(at)/ (at)] / cos(at)
としておくと、at→0から[sin(at)/ (at)] の極限は求まる。cos(at)の極限もいい。そして残りのt^2の所は、最終的にV/t^2の極限を求めるから消える。

残りのVの部分は、（もう一回計算し直した後で）、lim_(s→0) [(cos(s) - 1) / (s^2)]に似た形に持ち込む。lim_(s→0) [(cos(s) - 1) / (s^2)]の極限自体は半角の公式を使えば出来ますよね？

お礼

すみません、補足についてですけど、解決しました

はさみうちですね！

補足

Vは計算し直しました

＊a→∞で、tan(at)→0なので、
で、0<at<π/2 (何故なら0<t<π/(2a)）だから、t→0。

についてですが、
tan(at)→0
から
at→0
になるのは分かるのですが、そこからt→0に至るのがわからないです
a→∞で
なぜt→0になるのでしょうか？(不定形てきな？)

返事がおそくなってごめんなさい

回答No.14

spring135

#10です。

三角関数の逆関数の積分なんて使っていない。すべて高校の数学の範囲内だ。

それもわからないというのは、要するに君はほとんど問題も回答も理解できていないのだ。

この問題はやめたほうがいい。君には無理だ。

お礼

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/489369.html

参考にどうぞー

補足

arctan
ってアークタンジェントじゃないんですか？

回答No.12

tmpname

三角関数の逆関数は使わなくて済むのでご安心を。

お礼

ありがとうございました！理解できました！

答えはπですね！

途中でVの計算を間違えると分からなくなるので、これからより慎重にしようと思いました！

ほかの回答者さんもありがとうございました！

回答No.11

tmpname

> V= (2πk/a^2) × (at・tan(at) + 1 ) × cos(at)

微妙に計算間違っている（一つ項が足りない）のでもう一度（その項がないと最終的な答えが合わない）のでもう一度。cos(0)は0でなくて1ですよ。

補足

本当ですね……
うっかり

少々お待ちください

回答No.10

spring135

接点座標が一致することからe^(-t)=kcosat,
接点で傾きが一致することから-e^(-t)=-aksinat
整理して

tan(at)=1/a (1)

k=(√(a^2+1)/a)e^(-t) (2)

バームクーヘン積分なんて知らなかったけど要するに軸対称で半径方向に分布のある場合の積分で納得

V=∫(0→t)2πxf(x)dx=2πk∫(0→t)xcos(ax)dx=(2πk/a^2)∫(0→at)ucos(u)du (u=ax)
=(2πk/a^2)[usinu+cosu](0→at) (部分積分など使う）
=(2πk/a^2)[atsinat+cosat-1]

(1)より sin(at)=1/√(a^2+1), cos(at)=a/√(a^2+1) ,t=(1/a)arctan(1/a)

及び(2)を用いて

V/t^2=2πe^(-p/a)[a+p-√(a^2+1)]/ap^2 (p=arctan(1/a))

c=1/aとおくとlim(a→∞)c=0, p=arctan(1/a)=arctan(c), cの小さいところではp≒c

lim(a→∞)V/t^2=lim(c→0)2πe^(-c^2)[1/c+c-√(1/c^2+1)]/(c^2/c)

=lim(c→0)2π{(c^2+1)/[c^2+1+√(c^2+1)]}=π

補足

高校過程内でおねがいします

三角関数の逆関数は使わない方法をお願いします

回答No.9

Tacosan

#5 への補足のところ,
「V=2π∫[0→t] x・kcos(ax) dx
なので
2πk{t・sin(at)/a + cos(at)/a^2 }
= (2πk/a^2) × (at・tan(at) + 1 ) × cos(at)

です」
ってのは何を言ってるの?

まず
V=2π∫[0→t] x・kcos(ax) dx
はいい. そして,
2πk{t・sin(at)/a + cos(at)/a^2 }
= (2πk/a^2) × (at・tan(at) + 1 ) × cos(at)
もいい.

で V はどこへ行った?

補足

わかりにくい書き方してすみません……

V= (2πk/a^2) × (at・tan(at) + 1 ) × cos(at)

ってことです

回答No.8

noname#232123

両グラフがx=tで接する条件は、k={√(a^2+1)/a}*exp{(-1/a)*arctan(1/a)} です。
このとき、接点の座標は、((1/a)*arctan(1/a), ka/√(a^2+1)) となっています。

求める体積Vは、
V=pi*∫[ka/√(a^2+1) to k] x^2dy + pi*t^2*ka/√(a^2+1)
であり、右辺第二項は「円柱部分」の体積、
第一項の定積分の部分は、
k*cos(ax)=y なる置換を行えば、
∫[0 to 1]pi*k*a*x^2*sin(ax)dx
となり、部分積分を２度繰り返せば結果が得られます。
-----------------------------------
※計算ができるかどうかをみる問題であれば、これほど複雑にせずにたとえばa=1と初めから与えておいたほうがいいような気もしますが。

補足

高校過程内でおねがいします……

すみません

三角関数の逆関数は使わない方法をお願いします

回答No.7

noname#232123

接点の座標は、((1/a)*arctan(1/a), ka/√(a^2+1)) です。
体積Vは、
V=pi*∫[ka/√(a^2+1) to k] x^2dy + pi*t^2*ka/√(a^2+1)
となります。

右辺第二項は、円柱の部分に体積です。
第一項の定積分は、y=k*cos(ax) と置換すると、
∫[t to 0] x^2*(-ka)*sin(ax)dx
=...={-t^2/a+2/a^3}cos(at)+(2t/a^2)sin(at) - 2/a^3.
を得ます。
----------------------------
※結果は計算ミスの可能性があります。

回答No.6

tmpname

間違えた、lim_(a→∞) atです。

補足

返事が遅れて申し訳ないです

x=tで接するから
e^t=kcos(at)
e^t=aksin(at) (マイナスは取っ払いました)
が得られ、
tan(at)=1/a
となります

a→∞で、tan(at)→0なので、
at→0でしょうか？(at→π？)

回答No.5

tmpname

因みにバームクーヘン積分を使って体積を求めてもtan(at)の結果（とlim_(x→∞)atの値）は使うので、その値も補足にください。

補足

バームクーヘンで体積を求めると

V=2π∫[0→t] x・kcos(ax) dx
なので
2πk{t・sin(at)/a + cos(at)/a^2 }
= (2πk/a^2) × (at・tan(at) + 1 ) × cos(at)

です
最後の式はtanを作るためにcosで括りました

回答No.4

tmpname

バームクーヘン積分をつかって律儀に体積を出した結果をつかっても、出せないことはない。ので、その方法で押し通してみたい場合は、先ずは体積の結果がどうなったか補足に書いてみてください。合っていればヒントが出せる。