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比例式の問題を教えてください(訂正版)

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  • 質問No.88803
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お礼率 37% (20/54)

No.88660の質問が間違っていました。
もう一度訂正したものを書きます。

問題:
a、b、c、dは自然数で、aとbは互いに素とする。
a/b=c/dならば、
   c=ka、d=kbとなるような自然数kが存在することを示せ。
これならどうでしょうか。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.6
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

a/bが既約分数であるという条件が付きました。これなら自明でしょう。
でも念のためにじっくりやってみましょうね。

a/bが既約分数とはつまり
 (1) a, bを共に割り切る1より大きい自然数はない。
(m/n)を既約の正の有理数(m,n>0)として
(m/n)=c/a
このようなm,nは必ず存在します。(c/aを約分したものに過ぎません。)念のために、既約であるということは
 (2) mとnの素因数分解は共通の素数を含んでいない。
という意味ですね。
するとa/b=c/dの関係から
(m/n)=d/b
が成り立つ。ゆえに
a(m/n) = c, b(m/n)=d
です。ここでc, dが自然数であるためにはamはnで割り切れ、bmもnで割り切れなくてはならない。
ゆえに、もしn>1ならば、(2)によって、
 (3) amがnで割り切れるならば、aはnで割り切れる。
 (4) bmがnで割り切れるならば、bはnで割り切れる。
が言える。すなわちa,bを共に割り切るn>1が存在することになり、条件(1)に矛盾してしまう。
だからn=1でなくてはならない。そこで
k=m/n = m
とおけば、これが求める自然数というわけです。
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その他の回答 (全7件)

  • 回答No.2
レベル11

ベストアンサー率 29% (114/390)

a、b、c、dがそれぞれ自然数で、a<c、b<dなので、
a/b = c/d ということは「c/dを約分した結果がa/bだ」と言えます。
ということは、ある数kを用いて
c/d = (ka/kb)
と表記することができます。
約分を示す等式ですから、分子どうしと分母どうしは等式で成り立ちます。
よって、
 c=ka、d=kbとなる数kが存在します。

ただ、kが自然数かどうかは証明できません。
例えばa/bが6/12、c/dが9/18という状態ならば、両方とも約分すれば1/2になる
のですが、この場合のkは2/3になってしまうからです。
補足コメント
meikotk

お礼率 37% (20/54)

問題が違っていました。
「aとbは互いに素の関係がある」
ことを付け加えて考えてください。
投稿日時 - 2001-06-11 22:20:00
お礼コメント
meikotk

お礼率 37% (20/54)

自分の質問が間違っていたのに訂正版を新しく作ってしまい、皆さんに大変ご迷惑をおかけしました。
今後は十分注意いたします。
すみませんでした。
投稿日時 - 2001-06-12 16:02:45


  • 回答No.1
レベル13

ベストアンサー率 24% (357/1463)

反例をあげます。
a=6, b=9, c=10, d=15 の時、
a<c かつ b<d で a/b = c/d ですが、
c=ka, d=kb となるような自然数 k は存在しません。
補足コメント
meikotk

お礼率 37% (20/54)

問題が違っていました。
「aとbは互いに素の関係がある」
ことを付け加えて考えてください。
投稿日時 - 2001-06-11 22:21:02
お礼コメント
meikotk

お礼率 37% (20/54)

自分の質問が間違っていたのに訂正版を新しく作ってしまい、皆さんに大変ご迷惑をおかけしました。
今後は十分注意いたします。
すみませんでした。
投稿日時 - 2001-06-12 16:04:12
  • 回答No.3
レベル5

ベストアンサー率 0% (0/7)

a/b = c/d
c = a(d/b) (1)
d = b(c/a) (2)

(a/b)(d/a) = (c/d)(d/a)
d/b = c/a (3)

(1)(2)(3)より
k = d/b = c/a
補足コメント
meikotk

お礼率 37% (20/54)

問題が違っていました。
「aとbは互いに素の関係がある」
ことを付け加えて考えてください。
投稿日時 - 2001-06-11 22:19:18
お礼コメント
meikotk

お礼率 37% (20/54)

自分の質問が間違っていたのに訂正版を新しく作ってしまい、皆さんに大変ご迷惑をおかけしました。
今後は十分注意いたします。
すみませんでした。
投稿日時 - 2001-06-12 16:01:02
  • 回答No.4

先人の方々の通りです。
このままでは反例が存在し、この命題は偽(成り立つとは限らない)です。

c=ka、d=kbとなるような「実数k」が存在することを示せ。
ならばこの命題は真(正しい)で、No.3のように証明できます。

これが分からないと他のものが解けないという文章を見ていて、
単なる予想をしたのですが、

a/b=c/dならば、
(a+c)/(b+d)=(a-c)/(b-d)

のようなものが証明したいのですか?
それならば、a/b=c/d=k(kは実数)とおき、
a=bk,c=dkとして、左辺=右辺を示します。
a/b=c/dの形を比例式と言いますが、
比例式が与えられたときの証明のほとんどは、
=kと置いて分子をkと分母を使って表すのが定石です。

一応ご参考までに。
見当違いだったらすいません。
補足コメント
meikotk

お礼率 37% (20/54)

問題が違っていました。
「aとbは互いに素の関係がある」
ことを付け加えて考えてください。
投稿日時 - 2001-06-11 22:17:33
お礼コメント
meikotk

お礼率 37% (20/54)

自分の質問が間違っていたのに訂正版を新しく作ってしまい、皆さんに大変ご迷惑をおかけしました。
今後は十分注意いたします。
すみませんでした。
投稿日時 - 2001-06-12 15:58:03
  • 回答No.7

分母を払うと
ad=bcで、かつaとbは互いに素、
しかも積ab、bcは自然数だから、この等式が成り立つには、
dはbの倍数でなくてはならない。
よって適当な自然数kを用いてd=kbと表せる。
これを再び等式に代入すると、
kab=bc
両辺をbで割れば、c=kaが得られる。
こんなもんでどうでしょう?

蛇足です。
大変請謁なんですけど、問題を間違えたわけですから、
貴方の満足のいく解答は出てこなくて当然ですよね。
88660の質問は締め切るべきだと思いますがいかがでしょう?
皆さん一生懸命考えてくださったわけですから。ね。
お礼コメント
meikotk

お礼率 37% (20/54)

返事が遅くなってすみません。
自分のミスでこのような迷惑がかかると思いませんでした。
大変ご迷惑をおかけしました。
貴重な時間を割いていただいてありがとうございます。
今後は十分注意いたします。
すみませんでした。
投稿日時 - 2001-06-12 15:47:19
  • 回答No.5
レベル10

ベストアンサー率 37% (67/180)

「a、b、c、dは自然数で、a<c,b<dとする。 a/b=c/dならば、」
a/b=c/dからa:b=c:d 比の関係あります。
上記の事からcはaの倍数です。同じくdはbの倍数です。
この倍数は同じ値になります。a、b、c、dは自然数なのでこの倍数をkとした時にkは自然数になります。ある自然数Xある自然数=自然数となるからです。
kxa=c、kxb=dとなります。
------------------
a/b=c/dからaxd=bxcとし両辺にbをかける
a=bxc/d k代入します。
a=c/kから
k=c/a→k=d/b
補足コメント
meikotk

お礼率 37% (20/54)

問題が違っていました。
「aとbは互いに素の関係がある」
ことを付け加えて考えてください。
投稿日時 - 2001-06-11 22:14:54
お礼コメント
meikotk

お礼率 37% (20/54)

自分の質問が間違っていたのに訂正版を新しく作ってしまい、皆さんに大変ご迷惑をおかけしました。
今後は十分注意いたします。
すみませんでした。
投稿日時 - 2001-06-12 15:56:10
  • 回答No.8
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

回答かいちゃった↓。閉めてから再質問してくださいよお。
お礼コメント
meikotk

お礼率 37% (20/54)

返事が遅くなってすみません。
自分のミスでこのような迷惑がかかると思いませんでした。
大変ご迷惑をおかけしました。
貴重な時間を割いていただいてありがとうございます。
今後は十分注意いたします。
すみませんでした。
投稿日時 - 2001-06-12 15:46:01
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