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大学受験相当の問題と思いますが...
noname#598の回答
もちろん、一番スマートなのはshushouさんが示している平均値の定理の利用です n次元関数というのは、ｎ次の整関数、ということでしょうか？ 違ったら見当違いで申し訳ないのですが、 これを意識したいとのことなので、これでやってみます。 f(0)=０であることから、 f(x)=x(ax^(n-1)+…+bx+c)と因数分解できる。 ここで、f(x)=0以外に実数解をもたないことから、 ax^(n-1)+…+bx+c=0がもしxを因数にもたないとすると、 ax^(n-1)+…+bx+c=0は虚数解をもち、 a>0ではx>0で、a<0ではx<0で矛盾する。 よって、ax^n+…+bx+c=0は実数解を持ち、なおかつa>0である。 再びf(x)=0の解はx=0のみだから、ax^(n-1)+…+bx+cはxを因数にもつので、 c=0となる。 よって、f'(0)=0が示せた。 勢い余って・・・ f(x)=x^2(ax^(n-2)+…+b) となったので、仮にnが奇数だとすると、 ax^(n-2)+…+b=0は再び実数解を持ち、x=0（奇数個の重解）と、残りは虚数解。 これではx<0でf(X)<0となり矛盾が生ずるので、ｎは偶数である。 つまり整関数のときは、偶数次で、最高次の係数は正であることも示せます。 かなり強引でしたが・・・
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