濃度について

質問

実直線も実平面も実立方体も同じ連続体濃度（アレフ1）をもつと言われています。
質問ですが、連続体濃度の次に大きな濃度はアレフ2ですか。
また連続体濃度の次に大きな濃度もしくはアレフ2の濃度をもつ集合とは幾何学的にどのようなものか示すことが出来ますか。

回答No.6

tmpname · ベストアンサー

> 可算集合を1つ１つ集めることは可能でしょう。
> このようにしてあらゆる可算集合を集めるのです。
> 集めた結果は集合になるでしょう。

うむ、その言っている意味は分かる。で、集めた結果は残念ながら「集合にならない」のです。

つまり、その「任意の可算集合からなる集合」があるとすると、（ZFCの公理を色々駆使すると）そこから「任意の集合からなる集合」が作れる。

（イメージとしては任意の集合uを取ってくると、uのべき集合P(u)、そのべき集合P(P(u))、そのべき集合....とやったものを全部集めるとそれは「可算集合」になる。よって、この形をした可算集合{u, P(u), P(P(u)),...}たちだけを取ってきて、それぞれの可算集合から一番小さい集合だけを全部取ってくると、「任意の集合からなる集合」が作れる）

しかし、その「任意の集合からなる集合」というのは存在しません
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
から、結局あらゆる可算集合を集めたものは集合になりません。

お礼

＞しかし、その「任意の集合からなる集合」というのは存在しません

集合のべき集合は集合にはならないと言ってるのですか。

補足

前後しますが、No7のお礼と補足を修正します。

2^アレフ0＝可算集合のべき集合の濃度＝アレフ１＝連続体濃度

　　　　　　　　　↓

2^アレフ0＝可算集合のべき集合の濃度＝アレフ１　・・・・・・・・・ZFCの場合
2^アレフ0＝可算集合のべき集合の濃度＝アレフ１＝連続体濃度　・・・連続体仮説において

ここで以下の３つを明確にしておきたいです。

１．可算集合のべき集合のべき集合は存在しますか。
２．連続体のべき集合は存在しますか。
３．全ての連続体の集合は存在しますか。

よろしくお願いします。

回答No.1

tmpname

どのようなZFCのモデルで考えるかという問題がありますが、ともかくアレフ0の次はアレフ1で、アレフ1の次はアレフ2、アレフ2の次はアレフ3です。アレフ1.5とかいうのはありません。

Cantorの連続体仮説というのは、アレフ1が連続体濃度である、という仮説であって、ZFCではこれは証明も否定もできないことが分かっています。同様にアレフ1が連続体濃度だとしてもアレフ2が実際にどの集合の濃度と等しいかというのは、ZFCではほとんど制限を付けられません。アレフ2が連続体濃度であるようなZFCのモデルも存在します。

お礼

＞アレフ2が連続体濃度であるようなZFCのモデルも存在します。

アレフ1＜アレフ2　より　アレフ1＜アレフ2＝連続体濃度
ってことですか。

＞ともかくアレフ0の次はアレフ1で、アレフ1の次はアレフ2、アレフ2の次はアレフ3です。アレフ1.5とかいうのはありません。

ところでアレフ0の前にアレフ-1はないですか。
アレフ-1は定義不可能ですか。
２＾アレフ0＝アレフ1　なら、普通に考えて　２＾アレフ-1＝アレフ0ではないでしょうか。
で、両辺の対数をとって　アレフ-1＝logアレフ0　ではないでしょうか。
アレフ0の対数はとれませんか。