物理の熱力学(大学教程度)の問題です

質問

大学教養レベルの熱力学の問題で、実際にある試験に出題された問題です。

(問題)

　ある物資の体積Vを圧力Pと温度Tの関数 V = V(P,T)で表す。圧力と温度を微小量dP、dTだけ変化させたときの体積の微小変化dVは、添付画像中の式(1)である。
　ここで、偏微分係数(∂V / ∂P)T (←Tは下付きで温度一定の意味) は、温度一定のもとで圧力を上げたときのもの体積変化の割合で、体積Vに対する比に負号を付けた量は添付画像中の式(2)で、等温圧縮率(k)と呼ばれる。
　また、偏微分係数(∂V / ∂T)P (←Pは下付きで圧力一定の意味)　は、圧力一定のもとで温度を上げたときの体積変化の割合で、体積Vに対する比は、添付画像中の式(3)で、体膨張率(β)と呼ばれる。
　アルミニウムの等温圧縮率は k = 1.32 × 10^(-11) (単位Pa) 、体膨張率は β = 7.14 × 10^(-5) (単位　K^(-1))である。温度を1K (ケルビン) 上げたとき、この物質中の体膨張率を抑えるために付加すべき圧力として最も近いものを次の中から一つ選べ。ただし、定数k、βは温度に依存しないものとする。

(選択肢)

(1)1.01 × 10^5 (単位Pa)
(2)1.80 × 10^6 (単位Pa)
(3)2.71 × 10^6 (単位Pa)
(4)5.41 × 10^6 (単位Pa)
(5)7.57 × 10^10 (単位Pa)

(解答)

(4)

以上です。

　私は、選択肢の単位に合わせるためにβ/k × 1(K) として解いたらたまたま当たったのですが、これでは添付画像中の式(1)～(3)を使っていないため本当の意味で問題を解いたことになりません。添付画像中の式を使って解く方法が分かる方おられましたら教えてください。
　よろしくお願いします。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

かなり基本的な問題ですが。。

膨張を抑えるということで、dV=0 にしろということで、式(1)から、
dV = 0 = (∂V/∂p)T * dp + (∂V/∂T)p * dT

で、この式に、(2)と(3)を代入して、
0 = (-κV)*dp + (βV)*dT

で、dT = 1(K)を代入して、dpについて整理すれば
dp = β/k × 1(K)
です。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
　おかげさまで解けました。
　ありがとうございます。
　またよろしくです。