◆ 有効数字 ◆

質問

ふと聞かれた、ん？と思ったので質問することにいたいしました。
よろしくお願いします。

有効数字を用いた加法なのですが、
たとえば
0.5+1.222=1.7ですよね？
0.5の1/100桁が怪しいので、その桁から切る。

そして、謎です。
1.5+0.399＝1.899⇒1.8と思っていたのです。
しかし、違うとところで習っていた人は
1.5+0.399=1.5+0.4=1.9というように、計算する前に四捨五入をしてから計算してた人がいました。

私間違えていますか？
よろしくお願いします。

回答No.1

crafty · ベストアンサー

0.5＋1.222＝1.7 は、1.7222....となって、四捨五入すると1.7になります。1.5＋0.399＝1.899となり、四捨五入すると1.9になります。

有効数字にはルールがあって、

足算、引算の場合：
最小小数点に合わせる。例えば、1.5268＋1.23だとすると、1.5268は第四小数点まであり、1.23は第二小数点までですよね、この場合、少ない方に合わせるので、第二小数点以下四捨五入となります。答えは2.76です。先に1.5268を第二小数点まで四捨五入して計算しても答えは同じになります。（1.53＋1.23＝2.76）

掛算、割算の場合：
最小桁に合わせる。例えば、1.2345*1.02＝1.26となります。最小桁は1.02の３桁です。割算も同じです。

ただし、0.02は１桁になります。ゼロから始まって、ゼロが続く場合、最初の自然数（ゼロを除く）から数え始めます。途中にゼロがある場合（1.02など）のゼロも１桁として数えます。

また、1.0とか0.10は２桁と数えます。自然数で始まる少数点の後ろにくるゼロは１桁に含みます。

それから、オレンジ１個とか２人の1や２は一定数なので有効数字に含まれません。2.0000......と永遠に続くと考えられ桁数を決められないからです。2.03＋2というような場合、桁数は３桁まで出します。

長々となりましたが、こんな感じです。

回答No.6

sanori

まず、計算前の四捨五入について。
計算前の四捨五入は、特に必要があってやるのでなければ、原則的には誤りです。
ご質問のケース1.5+0.399では、計算前に四捨五入しても計算後に四捨五入しても、たまたま同じになりますが、
例えば
1.14 + 1.14 + 1.14 + 1.1
だと、計算結果が異なってきます。
足し算する前に四捨五入してはいけません。

次に、計算結果の四捨五入について。
1.5+0.399＝1.899→1.8
とされていますが、
私の経験上、大学の先生（少なくとも工学系の先生）は、全て四捨五入していたので、
1.5+0.399＝1.899→1.9
になります。

ただ、私、個人的には、
「1.5+0.399＝1.899→1.8（有効数字以下を切捨て）」
と書けば、それはそれで正しいのではないかと思っています。
たとえば、円周率をある桁数まで表示するとき、
その１個下の桁で四捨五入するのは実用的、
切捨てするのは純粋に学問的
で、目的によって正しいやり方が違ってくると思うので。
物理に出てくる基本定数なども、おそらく同じような話になると思います。

ただ、ご質問の計算の場合は、明らかに、計算結果の概数を示す問題だと思われるので、普通は四捨五入が適当だと思います。

最後に、
計算途中で四捨五入をするのは原則論、誤りなのですが、私の中学高校の頃を思い出すに、こんな例もありました。
１つの問題が幾つかの小問題に分かれていて、（２）の問題が「（１）の計算結果を用いて計算せよ」になっている場合、（１）を解くときにすでに四捨五入をしているので、（２）の計算をする前に「計算途中で四捨五入した」ことになります。
そして、（１）の結果を四捨五入する前の数字に戻して計算すると、（２）の計算結果の下１桁の数字が違ってきたりします。
このときの理科の先生の判断は、こうでした。
「（２）の答えは、４．８３でも４．８４でも、どちらも正解です。最後の１桁ぐらいは少し違っていてもいいですよ。」

補足

皆様ご回答ありがとうございます。
この補足の場所で一斉にお礼を書くことをお許しください。

どうも私は違う計算のこととごっちゃにしてしまっていて、勘違いしていたみたいです。
また、有機無機科学専攻なので概数しかあまり見ないせいか忘れていたという方が正しいかもしれません。

みなさまありがとうございます。

回答No.5

kony0

aは「約」1.5
bは「約」0.399
とします。
これを有効数字の概念をもって式でかくと、
1.45≦a＜1.55
0.3985≦b＜0.3995
となります。これを足すと、
1.8485≦a+b＜1.9495
⇒「1.9」と言いきって良いかどうかが不明ですが、「1.8」と言ってしまうよりは妥当性が高そうですね。

ちなみにa,bが上の範囲内でそれぞれ独立に一様分布に従うと仮定すると、99%の割合で「1.9」、1%の割合で「1.8」となるようです。

回答No.4

matherlake

体重測定をして、５人の体重の合計を出すとします。

Ａ君　１６５ｃｍ
Ｂ君　１６５．４ｃｍ
Ｃ君　１６５．４９９９ｃｍ

計算(1)そのまま合計して四捨五入すると４９６ｃｍ
計算(2)Ａ君の単位にあわせて計算すると４９５ｃｍ

計算(1)の方が現実の数値に近くなることは確かですが、概数の世界では計算(2)の方法が正しいと思います。

理由は４９５が誤差の範囲内の中心になるからで、三人の合計は４９５ｃｍ±１．５ｃｍ（３人×±０．５ｃｍ）とどんな場合でも表記できるからです。

回答No.3

shige117

有効桁数に関しては、計算前に四捨五入するのではなく、計算後に最少桁数＋１の桁を四捨五入する方法が一般的だと思います。例えば１．５＋２．５７２５＝４．０７２５→４．１としてます。
また、化学の世界では「丸める」と言うやり方が有ります。これは、四捨五入する桁の前の数字が奇数の場合は四捨五入し、偶数の場合は五捨六入するというものです。
例えば１．５５→１．６　　１．６５→１．６にするというものです。含有率の計算などで、四捨五入した数字だけだと総計が１００％から大きく離れるために行われると聞いたことがあります

回答No.2

crafty

＃1の補足です。

足算引算の場合、小数点以下を少ない方に合わせる、の方が判りやすいでしょうか？