極限値について

質問

fとgは連続関数で、
f(２)=１、lim x→２　[f(x)+4g(x)]=13　となるき、
g(2)とlim x→2 g(x)の値を求める問題で、答えは何れも３になってるのですが、よく掴めません。どなたか簡単に説明して頂けますか？

回答No.2

sakura712

No.1です。

そうですね。１番目と２番目は同じことですね。
早い話、lim x→2[g(x)]=g(2)ですから。

そもそも、関数において連続であるとは
lim x→a[f(x)]=f(a)となることです。
ゆえに今回の場合、gが連続関数なので、
lim x→2[g(x)]=g(2)となるのです。
fについても同じことがいえるので、
lim x→２　[f(x)+4g(x)]=f(2)+4g(2)として解くことができるのです。

最初からこう書いたほうがよかったかもです…

回答No.1

sakura712

lim x→2 [f(x)+4g(x)]=13より
まずｘ→２なのでf(2)+4g(2)=13とかけます。
この時、f(2)=1より 1+4g(2)=13　∴g(2)=3
また極限の式で考えると
lim x→2 [f(x)] + lim x→2 [4g(x)]
=f(2)+4 lim x→2 [g(x)]=13　から
lim x→2 [g(x)]=3　となります。

つまりは、fとgは連続関数なので途中で関数が途切れたりはしていないということです。fもgも連続関数なのでｘ＝２のときの値が存在することを忘れてはいけません。連続関数であるがゆえにlim ｘ→２ [f(x)]＝f(2)といえます。もし連続関数でなければｘ＝２のときの値が存在しないかもしれないのでlim ｘ→２ [f(x)]=f(2)とはいえません。

わかりにくい説明になってしまってごめんなさい。

補足

早速の回答ありがとうございます。
２つ目の問いで、f(2)+4 lim x→2 [g(x)]=13
から、lim x→2 [g(x)]=3 になるのは、f(2)=1
を代入し、４で割ったわけですよね．．．
ということは、結局のところ、1番目と2番目は
同じことでしょうか？？