正の整数の和と差の比

質問

正の整数A,B,C,Dについて、A>B、C>Dで、AとDとの和とBとCとの和の比は7:6であり、AとBとの差とCとDとの差の比が6:5であるとき、AとCとの和とBとDとの和の比として、正しいのはどれか。
1. 4:3
2. 5:4
3. 10:1
4. 12:1
5. 13:11
分かりやすい解説をお願いします

回答No.3

staratras · ベストアンサー

置き換えた方がわかりやすいかもしれません。

題意から　A+D:B+C=7:6 A-B:C-D=6:5

ここで　x=A+D,y=B+C,z=A-B,w=C-D とおくと
題意は　x:y=7:6 …(1) z:w=6:5 …(2)のとき x+w:y-wを求めることである。

(1)から　y=(6/7)x (2)からz=(6/5)w,
これを　x＋w＝y＋z(=A+C) に代入すると　
x+w=(6/7)x+(6/5)w から　w=(5/7)x
よって　x+w=(12/7)x, y-w=(1/7)x だから　x+w:y-w=12:1 答え４

お礼

staratras様
ご回答ありがとうございました。
等式変形の迷路に迷い込むことなく、解法見通しに関してもお陰さまでスッキリしました。ありがとうごさいました。
ベストアンサーとさせて戴きました。

回答No.2

gohtraw

（ａ＋ｄ）：（ｂ＋ｃ）＝７：６　・・・（１）
（ａ－ｂ）：（ｃ－ｄ）＝６：５　・・・（２）

比の内項の積と外項の積は等しいので（１）と（２）はそれぞれ
６ａ＋６ｄ＝７ｂ＋７ｃ　・・・（１）’
５ａ－５ｂ＝６ｃ－６ｄ　・・・（２）’

（２）’を移項して
５ａ＋６ｄ＝５ｂ＋６ｃ　・・・（２）’’

（１）’－（２）’’をとると
ａ＝２ｂ＋ｃ　（１）’’

（１）’’を（１）’に代入すると
６ｄ＝７ｂ＋７ｃ－６ａ
　　＝７ｂ＋７ｃ－６（２ｂ＋ｃ）
　　＝－５ｂ＋ｃ
ｄ＝（－５ｂ＋ｃ）／６

以上より
ａ＋ｃ＝２ｂ＋ｃ＋ｃ
　　　＝２（ｂ＋ｃ）
ｂ＋ｄ＝ｂ＋（－５ｂ＋ｃ）／６
　　　＝（ｂ＋ｃ）／６

したがって
（ａ＋ｃ）：（ｂ＋ｄ）＝２：１／６
　　　　　　　　　　＝１２：１

お礼

gohtraw様
とても迅速なご回答ありがとうございました。この問題の許容解答時間は目安３分だそうなので、解法を拝見させて戴いた後も直截感があまり得られませんでした。等式変形が苦手な私はすぐ迷子になってしまいました。

回答No.1

spring135

題意より

(A+D)/(B+c)=7/6　　　　(1)

(A-B)/(C-D)=6/5 (2)

A+C=P, B+D=Q

とおきP/Qを求めればよい。

(1),(2)からC,Dを消す方向で変形する。

C=P-A, D=Q-B

を(1)へ代入

(A+Q-B)/(B+P-A)=7/6

A-B=Eとおくと

（E+Q)/(P-E)=7/6

7P-7E=6Q+6E

7P-6Q=13E (3)

C=P-A, D=Q-B

を(2)へ代入

(A-B)/(P-A-Q+B)=6/5

A-B=Eを用いて

E/(P-Q-E)=6/5

6P-6Q-6E=5E

6P-6Q=11E (4)

(3)-(4)

P=2E (5)

(4)へ代入

Q=E/6　　　　　（6）

(5),(6)より

P/Q=2/(1/6)=12/1

答え

4

お礼

spring135様
まず初めに、一番早くご回答頂きありがとうございました。最初に解法の指針を示して戴いたので、その後の等式の変形もなんとか理解が出来ました。