高校数学、微分の定義式

質問

微分の定義の1つ
ｆ‘（ｘ）＝lim(h→０）ｆ（ｘ＋ｈ）－ｆ（ｘ）／ｈのｈは何を表しているのでしょうか?ｘは１やら２の代わり（任意の変数）ですが、ｈの意味がわかりません。

ｈ⊂ｘと考えてよいのでしょうか?

回答No.5

stomachman · ベストアンサー

> その解説の中でｐ＋ｈはｐ＋ｈ∈ｘのように扱われ
> ているので、ｈはｈ∈ｘだと考えてしまった

　メチャクチャな解説だな。その解説の部分を写真に撮って、このご質問に画像として添付して下さい（後からでも画像添付はできるんです）。さらに、この回答の補足欄に書名、著者名、出版社名、および該当のページ番号を曝して下さい。私がその著者を締めに行きますから。

お礼

自分の誤解でした。ありがとうございました

回答No.4

maccha_neko

微分・・・ですよね？
hもｘやyと同じように変数ですよ。

y=f(x)のグラフを描いてやって、xを決めればグラフ上の一点が決まりますね。
で、この点からほんのちょっとだけxを増やすとyはどの位増えるのかな？というのを考えるのですね。この増分を'h'とあらわしたのです。別にyでもzでもαでも○でも△でもいいのですけど、習慣としてhを使うことが多いっていうだけだと思えば良いでしょう。

さて、グラフを考えるとxが(x+h)になり、ｙはf(x)からf(x+h)になったのですね。
変化した度合いを見ると、ｘが(x+h）に変化して、ｙはy(x)からy(x+h)に変化したのですから、
(f(x+h)-f(x)）÷((x+h)-x)=(f(x+h)-f(x))÷h
となりますね。
ここで、hをどんどん小さくして0に近づけていくとどうなるのかなぁ？というのを数式であらわしたのが、
lim(h→０）ｆ（ｘ＋ｈ）－ｆ（ｘ）／ｈ
ということですね。
そして、毎度この式を書くのは面倒くさくてしょうがないのでf'(x)と表記したのですね。

お礼

自分の誤解でした。ありがとうございました

回答No.3

noname#199771

＞ｈ⊂ｘと考えて
＞ｐ＋ｈ∈ｘのように扱われ
＞ｈはｈ∈ｘだと考え

意味不明です。
ｈが集合ｘの要素あるいは部分
集合だと言いたいのですか？
ｆは実変数ではなくて集合を変数
にもつ関数ということですか？
そうだとするとｘ＋ｈとは何のこと
でしょう？

記号は正しく使いましょう。

関数fがxで微分可能なとき、ある
実数Aが存在して任意の正数ε
に対してある正数rが存在してfの
定義域が開区間(x-r,x+r)を含み、
-r<h<rなる任意の実数hに対して
|f(x+h)-f(x)-Ah|≦ε|h|
になります。このAをf'(x)と書く。

まぁ、言い換えただけですけどね。

hは何かと問われても、質問文
に書いてある式にhは変数として
含まれません。変数はxだけです。

お礼

自分の誤解でした。ありがとうございました

回答No.2

spring135

こういう疑問が生じたときはy=f(x)=x^2のような具体例で考えてみればマンガのようによくわかる。

微分係数を求めようとしている点をP(p,p^)とし、曲線上にPとは異なる点Q(q,q^2)をとる。

PQの傾きmを考えることが微分の出発点である。

明らかに

m=(q^2-p^2)/(q-p) (1)

である。

微分係数は曲線上の着目点における接線の傾きである。

これは上の話でいいかえるとQを限りなくPに近づけた時のPQの傾きと等しい。

従ってq=p+hとしてhを0に近づけた極限がPにおける微分係数である。

というわけでQ(p+h,(p+h)^2)としてPQの傾きを求めると（(1)に代入してもよい）。

m=[(p+h)^2-p^2]/[p+h-p]=2ph+h^2/h=2p+h

h→0とするとm=2p

これはy=x^2を微分すると2xになることを意味しているのがわかりますか。

お礼

自分の誤解でした。ありがとうございました

補足

PQ間の傾きを考えて、QをPへ近づけるという流れはわかるのですが、その解説の中でｐ＋ｈはｐ＋ｈ∈ｘのように扱われているので、ｈはｈ∈ｘだと考えてしまったのですが、どうしていけないのでしょうか?

回答No.1

toshih2000

何を悩んでいるのかわかりませんが

h は 通常 微小な値が入ります。変数と思って良いです。
とはいっても、具体的に値を求めることが目的では無いですが。

極限や微分に入る前か最初の方で
f(x) の x が A から B まで変化する際の f(x) の変化を調べて

(f(B)-f(A))/(B-A) を求めて 変化の割合を調べたりとかやっていると思います。
この A,B間の差を限りなく 0に近づけて変化の割合を求めることが微分です。

この A B 間とする変わりに x と x+h 間としています。
この方が一般化ができるからです。

お礼

自分の誤解でした。ありがとうございました