臨界角について

質問

物理のある問題です。

小物体をB端からプールの底に沿って遠ざける。小物体とB端の間の距離がある距離よりも大きくなると、プールの右側の床面より上の空気のどの位置からでも小物体を見ることができるようになる。そのときの、小物体とB端の間の距離を表す式をもとめよ。

答えは、d/√n^2-1となるらしいのですが、よくわかりません。解説は床面と水との境界で、臨界角を使ってるのですが、臨界角を使うと全反射してしまい、床面より上の空気では見えなくなってしまうのではないのですか？
ご回答よろしくお願いします。

回答No.1

matelin · ベストアンサー

こんばんは。解説しましょう。
あなたの図を元にして話します。次の文を読みながら、図にＡやＣを記入してください。

床面と水面との境界点（Ｂの真上の水面上の点）を点Ａとします。光が水から空気へ進むときの全反射の臨界角をθとします。水底の位置点Ｃは、角ＣＡＢが丁度θになる点としましょう。

水中から入射角θで水面に入射した光は、９０°の屈折角で空気中に出ていきます。光の逆行性（光は来た道と反対方向に送ると、来た道を辿って初めの位置まで戻る性質）より、空気中から入射角９０°で水面に入射した光は、水面での屈折後、屈折角θで水中に入ることになります。この屈折に対して、屈折の法則を適用すると、
　　sin90°/sinθ＝ｎ　（空気に対する水の屈折率はほぼ絶対屈折率ｎに等しいことを使う）。
また　　ＢＣ＝ｄtanθ　。数学の公式　tanθ＝cosθ/sinθ　，cosθ＝√{１－(sinθ)^２}　も使うと、ＢＣの距離が　ｄ/√(ｎ^２－１)　であることが分かります。

全反射の臨界角がθであるとは、小物体から出て水面で屈折する光線の入射角がθよりも大きいと、屈折光線がなくなり反射光だけになるということです。ここをしっかり理解してください。

さて小物体が点Ｃにある時、プールの右側の床面より上の空気のどの位置からでも小物体を見ることができるのは、なぜかを考えてみます。ＣからＡに向かって進む光はＡで屈折した後、屈折角が９０°になる方向に進みます。これは床面すれすれの方向です。同じ小物体から出て点Ａより少し左にある水面上の点Ｐに向かって進む光は、Ｐ点での屈折後に床面の少し斜め上方を進むでしょう。点Ｐの位置が左に寄れば寄るほど、屈折後の光の進行方向は床面から離れていく角度は大きくなります。従って、点ＰをＡから出発して、徐々に水面上を左へ移動させると、点Ｐで屈折した光がとおる道筋は、床面の上の全空間を覆うことになる事が分るでしょう。それは床面上の空間のどこからでも小物体が見えるということです。

次に、小物体をＢＣの中点Ｄにおいて、上と同じ考察をします。ＤからＡに向かう光は、入射角がθよりも小さいので、全反射が起こらず、屈折光が存在します。その屈折光線は床面の斜め上を通っていきますが、その屈折光線と床面との間の空間には、Ｄにある小物体からの光は来ることができませんね。この空間からは小物体は見えないのです。

更に、小物体をＣより左へいくらか動かした場合を考えます。この小物体から出て水面に向かう光のうち、入射角が全反射の臨界角になるような光線は存在します。この光線の屈折後の進路は床面すれすれです。この後は点Ｃから出る光で考察したと同じように考えると、この小物体からの屈折光線は床面の上の全空間を覆うことになる事が分るでしょう。

以上、図を描きながら説明すれば、もっと分かりやすくできるのでしょうが、それを文章だけでやりました。言葉足らずの部分はご自分で補足して意味を読み取っていください。

お礼

なるほど！
屈折光線と床面の間からは物体が見えない、ということをしっかりと理解してませんでした。
とてもわかりやすかったです！
ご丁寧な説明ありがとうございました。

回答No.2

matelin

回答Ｎｏ１です。ミスを訂正します。

「数学の公式　tanθ＝cosθ/sinθ　」は誤り。
　正しくは、　tanθ＝sinθ/cosθ

失礼しました。