偏微分の問題です

質問

こんにちは。

I(a,b,c)=1/2Σ(i=1,N)((axi^2+bxi+c)-yi)^2　の偏導関数∂I/∂a , ∂I/∂b , ∂I/∂c を求めよという問題の解法が分かりません。

２乗部分を展開→a,b,cそれぞれで偏微分する→求めた結果に数列の和の公式を適用する
という方法を考えたのですが、計算量が膨大になってしまい効率がとても悪くなってしまいました。
もし他にやりやすい解法があったら教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

島崎 崇（@tadopika） · ベストアンサー

Σが係数"1/2"の分子にある、と判断して回答します。

I(a,b,c) = 1/2*Σ(i=1~N){(axi^2+bxi+c)-yi)^2} ...[1]

例えば、[1]をaで偏微分するということは、a以外の変数を定数と見なして微分する、ということです。
[1]はaの2次式ですから、これをaで偏微分すると、aの1次式になります。

∂I/∂a = 1/2*Σ(i=1~N){2xi^2*(axi^2+bxi+c-yi)}
= Σ(i=1~N){axi^4+bxi^3+cxi^2-xi^2*yi}

b, cについても、同様に計算できます。
[1]は、bの2次式であり、cに関しても2次式です。

お礼

回答ありがとうございます。
偏微分も普通の微分と同じようにやっていけばいいのですね。
どうやら難しく考えすぎていたようです・・・。
どうもありがとうございました！

回答No.2

Knotopolog

和の偏微分は各項を偏微分すればいいわけですから，この問題の場合は，Σ{*}の中の{*}だけを偏微分すればいいのです．

I(a,b,c)=1/2Σ(i=1,N)((axi^2+bxi+c)-yi)^2　に対して，

J＝K^2　・・・・・・・・・・・・・（１）
K＝(axi^2＋bxi＋c)－yi　・・・・・（２）

と置くと，

∂J/∂a ＝(∂J/∂K)(∂K/∂a)　・・・・・（３）
∂J/∂b ＝(∂J/∂K)(∂K/∂b)　・・・・・（４）
∂J/∂c ＝(∂J/∂K)(∂K/∂c)　・・・・・（５）

ですから，

∂I/∂a ＝(1/2)Σ(i=1,N){∂J/∂a}　・・・・・（６）
∂I/∂b ＝(1/2)Σ(i=1,N){∂J/∂b}　・・・・・（７）
∂I/∂c ＝(1/2)Σ(i=1,N){∂J/∂c}　・・・・・（８）

を求めれば解が得られます．i＝1,2,...,N は添え字でしょうから，偏微分には無関係です．ただし，数式によっては，偏微分後 i＝1,2,...,N が i＝1,2,...,N－1 のような事になっている場合がありますので，その点だけ注意が必要です．この問題は，i＝1,2,...,N のままでいいです．

お礼

回答ありがとうございます。
どうやら難しく考えすぎていたようです・・・。
普通の微分と同様に考えれば大丈夫みたいですね。

＞数式によっては，偏微分後 i＝1,2,...,N が i＝1,2,...,N－1 のような事になっている場合がありますので，その点だけ注意が必要です．
そういう場合もあるんですね。覚えておくようにします!
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

最後の「求めた結果に数列の和の公式を適用する」が何を言っているのかわかりませんが....

さておき
・(2x+3)^100 を x で微分することはできますか?
・((axi^2+bxi+c)-yi)^2 を a, b や c で偏微分したらどうなりますか?

補足

回答ありがとうございます。

「求めた結果に数列の和の公式を適用する」というのは
Σ(i=1,N)i=N(N+1)/2　等を用いるという意味でした。
分かり辛くて申し訳ないです。
（ただ、今書いててこれは使わないかもしれないと思いました・・・）

＞(2x+3)^100 を x で微分することはできますか?
これは単純に2*100(2x+3)^99でいいと思います

＞((axi^2+bxi+c)-yi)^2 を a, b や c で偏微分したらどうなりますか?
上と同じように考えると、aで偏微分した場合
2((axi^2+bxi+c)-yi)*xi^2　ということでしょうか？