差分方程式と線形位相 【信号処理】

質問

システムの差分方程式の一部係数を変えて、線形位相になるようにする問題を考えています。
ですが、途中で詰まってしまい、お力を貸して頂けないでしょうか？宜しくお願い致します。

【問題】 y[n] ＝ x[n] - 2x[n-1] + ax[n-2] で、システムが線形位相になる a とは何か？
【答案(途中まで)】 http://upup.bz/j/my17627hhOYtiyRONUOwkN6.jpg
【参考にしたサイト】 http://www.ic.is.tohoku.ac.jp/~swk/lecture/yaruodsp/dfanalysis.html
「15.4 章 線形位相特性」から、位相特性のグラフが原点を通る直線になるように、
つまり、傾きが定数となればよい、という事までは分かりました。
しかし、式は出しても、a をどうすればよいか分からないまま、という状況です。

回答No.3

178-tall · ベストアンサー

>y[n] ＝ x[n] - 2x[n-1] + ax[n-2]
を時間シフトし、a=1 とした
　y[n] ＝ x[1] - 2x[0] + x[-1]
のシフトを戻し、
　y[n] ＝ x[n] - 2x[n-1] + x[n-2]

　　　　↓　右辺の z 変換 : z=e^(jω)

　[1/z^n] - [2/z^(n-1) ] + [2/z^(n-2) ]
　= [1/z^(n-1)] * { [1/z] - [2] + [z] }
(またシフトかヨ)
…と整形してみると？

[1/z] - [2] + [z] の項は、
　= [cos(ω) - jsin(ω) ] - 2 + [cos(ω) + jsin(ω) ]
　= 2*[cos(ω) - 1 ]
になり、これは零移相。

そして、[1/z^(n-1)] の分は直線移相。

…という蛇足。
ご自身が引用なさった URL と照合してみて。

お礼

178-tall様
丁寧に回答して頂き、ありがとうございました。
部分毎に分けて事細かに見ていけばok という事なのですね。
よく分かりました。ありがとうございます。

回答No.2

Tacosan

あれ? H(jω) って, なんで計算するんだっけ?

補足

色々と、ご回答ありがとうございます。
制御工学での s ＝ jω とごちゃ混ぜになっていました。H(ω)ですとフーリエ変換の方ですね。
ただ、H(Z)をフーリエ変換といっても、ごちゃごちゃした式で、どうしたらいいのか困りました。。

回答No.1

178-tall

>【問題】 y[n] ＝ x[n] - 2x[n-1] + ax[n-2] で、システムが線形位相になる a とは何か？

15.4 線形位相特性
やらない夫　:　… 零位相特性を持つための条件は h[n] が偶関数であることだということになる．
やらない夫　:　… 零位相特性を持つようなインパルス応答 hz[n] を nd だけシフトして hz[n - nd] にすれば，n < 0 で値を持たなくなって因果的になるとしよう．
　　　↑　これを信じれば …
> y[n] ＝ x[n] - 2x[n-1] + ax[n-2]
を時間シフトした
　y[n] ＝ x[1] - 2x[0] + ax[-1]
にて、x[1] = ax[-1] 「だということ」になりそう。

補足

178-tall様
こちらにもご回答頂きありがとうございます。(もう一方の質問は回答を踏まえ考え中です)
零位相特性になる a についてのお話、よく分かりました。
ただ、たぶん・・・零位相特性と位相特性では答が違うのかもしれません。
第一、例えば x[n]＝0 (n＜0) ですと、aがほぼ求まらなくなりますので。

変形後の形θ(ω)＝Ａωから考えると、少なくともフーリエ変換は必要なのかな？と思っています。
ご回答ありがとうございました。