数学の＋や－

質問

家庭教師をしています。担当している生徒さんが中学一年生なのですが、数学の加減法でかなりてこずっています。色々と説明を変えてみたりしたのですが、いまいち伝わっていないので、何か良い教え方があればと思います。

　例えば、5x＋（－3x)＝2xという問題があったとします。この時、生徒さんは「（－3x）」の前に「＋」があるんだから、答えは8xになる」と言います。どうやら今までの足し算や引き算と同じように考えてしまっているようです。5x－3x＝という形にすると、やはり足してしまったり、かけて15xのような形にしたりします。　
　頭で計算する上では問題ないのですが、式のように視覚化するとこういう間違いをします。

　「＋」や「－」をどのように説明したらよいでしょうか？

回答No.1

qwreasdf · ベストアンサー

31歳男です。

私も学生の頃は家庭教師をやっていました。

私の経験ですが、教え方はいろいろあるかと思うのですが、
このような生徒には数学的なルールを教科書通りに教えるのは難しいです。
やり方を教えて、類似問題を解かせるということを繰り返し、
とにかく機械的に解けるようになるようにします。

まずは
「5x＋（－3x)のようにプラスとマイナスが並んだらプラスが消える」
ということを教えてください。

どうしてそうなるかというのは最初から教える必要はありません。

初めから仕組み（理論）を教えてしまうと、このようなタイプの生徒は数学は
難しいと思い込んでしまい、どんどん数学の苦手意識が増加していってしまいます。

もし理由を聞かれたら、一応、教科書通り数直線で教えてあげます。
ただ、この数直線はこの段階では理解しなくてよいのです。
とにかくそれが数学のルールだという感じで教えてよいと思います。

大丈夫だとは思いますが、このとき「君にはまだ難しい」というようなネガティブな発言はしてはいけません。
「こうやってやれば簡単に解ける」とか、「この方法なら難しい数直線を考えなくても解ける」
などと言って、あたかも裏ワザのように教えてあげてください。

逆に数学に興味がある生徒や、最初からよく理解できる生徒には最初から
どうしてそのようになるのかを教えてあげます。
一気に理解が深まって、数学を楽しいと思ってくれると思います。

そのあと、同じような問題をたくさん解いてもらいます。

ここがポイントです。

数字がちょっとだけ変わったような類似問題を解いてもらいましょう。
機械的に解けるようになるまで、毎回5問でも10問でも毎回続けてください。

そのように、少しずつ少しずつ回答のやり方を教えてあげてください。

そのうち、もっと難しい問題や、次の単元に進むタイミングで、
必要であればじっくり数直線を使って説明してあげてください。

全て理解させながら教えてあげたいところですが、
家庭教師はテストの点数を上げることが仕事です。
いくら理解していても、テストで凡ミスがあってはいけないのです。

点数が上がればだんだんその教科に興味がわいてきます。
5点でも点数が上がればやる気につながります。

そのために、家庭教師の方もあせらず、生徒のペースでじっくりと
確実に教えてあげてください。

お礼

ありがとうございます。

　「＋は意味が無いよ」「考えなくていいんだよ」と言ったのがまずかったんでしょうか。答えは変わらず、本人もますますやる気を失ってほとんど聞いてくれてませんでした。
　数直線でも教えてみたのですが、上手くいきませんでした。どうして＋の方向に進むのか、－の方向から＋へ戻らないのか、など色々訊かれた挙句、私自身どう説明したらいいのかわからなくなりました。

　何とか焦らないようにとは思ってるのですが、他の教科もあまり良くなくて、特に数学は算数の半分を理解してるか危うい状態です。もう夏休みですし、数学の範囲が広がらない内に成績を上げてもらいたいのですが、指導が下手でつい焦りそうになります。

　ご回答ありがとうございました。

回答No.6

ORUKA1951

＞生徒さんにわかるように教えられないです、ということです。
　それは分かります。
　しかし、厳しくて申し訳ないが、「分かるように教えられない」のは、あなたが完璧に理解できていないと言う事です。
　中学校では専科になり、数学を教えるためには教員免許が必要ですが、教育学部で数学を専攻するか、理学部数学科＋教職課程が必要になるのです。高々中学校の数学と言っても馬鹿に出来ないのですよ。
　生半可な指導をしてしまうと、その子にとって数学が一生の足かせになります。

　せっかく、家庭教師と言う立場になったのですから、あなた自身の勉強にもなるはずです。人に教えると言う事は、教える内容の数倍も深い知識と理解が必要なのですよ。家庭教師と言う立場だからこそ、それを身につけられる。感謝しなくては・・。

　数学を一言で言えば、【拡張】の連続です。整数→負数・分数→有理数→無理数→複素数・・。連立方程式→行列、・・
　負数や逆数（分数）の導入で、未知数を含むすべての数（有理数・無理数・複素数）に統一的な算法（交換/結合/分配)が使えるようになる。
★数学の真髄といえる部分です。しっかり身につけて、生徒さんにしっかり指導できるようになりましょう。なかなか、こんな機会はないものです。感謝感謝・・の心で。

お礼

ありがとうございます。

　私は文系ですし、教員になるつもりもありません。なのでご回答者様の言うような教え方は到底無理だと感じています。
　ただ仰るとおり「家庭教師と言う立場」になったということで、当然お金ももらうわけですし、責任もあります。私自身の勉強になる。最もです。

　ご回答者様の回答をなるべく沿う形を取りつつ、生徒さんと一緒に考えてみたいと思います。せっかく教えていただいたのに申し訳ありません。

　ご回答ありがとうございました。

回答No.5

ORUKA1951

No.2です。
＞交換則などについても説明すると余計数学を嫌いになると感じます。というか私が説明できません。
　いえいえ、これは絶対にきちんと始動しなければならない部分です。今後学ぶ数学の基礎・・極端に言うと『中学校で学ぶすべて』と言っても良い部分です。
　⇒算術 - Wikipedia( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93 )
　の四則演算の項を完璧にマスターしてください。
【引用】＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ここから
　算術における加算 (+) ・減算 (－) ・乗算 (×) ・除算 (÷) の4つの二項演算のことをあわせて、算術の四則（しそく）あるいは四則演算と称する。自然数の間に定義される四則演算のうち、減算と除算には大きな制約があり、これを解消する操作を通じて整数や有理数（とくに正の分数）にまで数の範囲を広げて四則演算を考えることができるようになる。
　四則演算を特徴付ける性質には、交換法則・結合法則・分配法則などがあり、抽象代数学では四則演算が自由にできる集合のことを体という。有理数の全体、実数の全体、複素数の全体などは全て体である。
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ここまで［算術 - Wikipedia( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93 )］より

　あなた自身が、この四則演算を理解しきれていないことが指導に窮する最大の要因のようです。
　負数や逆数という言葉は兎も角、これらは数学の最初に徹底的に学んでいるはずです。なぜ、それを学ぶ必要があるのかは、上記に書かれているように、未知数や「整数や有理数（とくに正の分数）にまで数の範囲を広げて四則演算を考えることができる」ようになるからです。

　例にあげられた
5x＋（－3x)　と言う式は
(5)×(x) + (-3)×x　と言う意味であること
　これさえ出来れば、分かるはずです。

　[交換法則][結合法則][分配法則]を自在に扱えるようになるためには、絶対に越えておかなければならない部分です。

　けっして難しい部分ではありません。もし負数、逆数を知らなければ、そこがネックになっているのですから、それを重点的に指導すればよい。必ずなぜそうするかの目的を理解して!!!

　まず、No.2の回答をしっかり理解してください。--相当、はしょっていますが---。
　貴方がマスターできていないもを指導する事は不可能です。

お礼

ありがとうございます。

というより、生徒さんにわかるように教えられないです、ということです。

ご回答ありがとうございました。

回答No.4

178-tall

>文法とは公式のことでしょうか。

数学の門外漢なので正式な呼称を知らないのですけど、「演算記号系の syntax 」みたいなものです。

お礼

ありがとうございます。

　質問に対する回答とかけ離れていると感じました。

　ご回答ありがとうございました。

回答No.3

178-tall

ウーン。
どうやら、数式の勘定をやらせる前に、算式の「文法」をきっちり復習させる必要がありそうです。

そういう「屁理屈」をこねる生徒さんは、「文法」をちゃんとマスターすれば、案外、スゴい実力を発揮するのかもしれませんヨ。

お礼

ありがとうございます。

　屁理屈というか、素直すぎるという感じだと思います。数の説明が上手く出来ない私の未熟さもあります。
　文法とは公式のことでしょうか。加減法に公式はありましたかね。すいません。よくわからないです。

　ご回答ありがとうございました。

回答No.2

ORUKA1951

それは、まず普通の数字で指導します。その前に小学校の復習を徹底的にして置きます。・・ここがポイントになります。
※小学校では次のように習ってきたはずです。
・大きい数から小さい数は引けない。
　　そのため車の入出庫の問題、4台出て2台入った、今3台いる最初に何台と言う問題は、
　　3 + 2 - 4 = 1 のように計算してきた。
・計算には順番がある。
　3個載った皿が5枚ある計算は、3×5 = 15であって、5×3=15じゃない
・計算の順番は変えてはならない
　3 - 2 ≠ 2 - 3、4÷2≠ 2÷4

　ここはしっかり理解できているようです。大人はこの重要性を忘れているから、以下の重要性が理解できず指導もできない。

※中学校では、それを数の拡張で大きく転換されます。
　その前提として、負数や逆数の導入が必要・・・明らかにこの段階で躓いている。
・引き算は忘れよう。引き算ではなく逆数を加えることだ・
　　数直直線を書いて、加算とは何か、引き算とはなにかを図で説明すればよい。
　　・・-4・・-3・・-2・・-1・・ 0・・ 1・・ 2・・ 3・・
　　引き算　　　　2 - 2 = 0 は3から左に2進む。1 + 2は1から右に2進む
　　負数　　　　　2 + (-2)は、2と(-2)を加えたもの・・答えは引き算と同じ
　　　負数：互いに加えると0になる数
・割り算は忘れよう。
　　逆数（掛け合わせると1になる数）の導入で、4÷2 = 4×(1/2)と同じ答えになる。

※この数の拡張により
　(交換則)　A ? B = B ? A　　　　?は＋と×
　(分配則)　A(B + C) = AB + AC
　(結合則)　AB + AC = A(B + C)
　　が、具体的数字に限らず未知数においても一般的に成り立つようになる
※加えて、＝関係にある両辺に同じ処理をしても変わらない
　A - 3 = 0
　A +(-3) = 0 　　　しとして両辺に(+3)を加える。
　A +(-3) +(+3) = 0 +(+3)
　A = 3
　　結果的に移項だけど、それは簡便な手法であって意味は「＝関係にある両辺に同じ処理をしても変わらない」であること

※これは、5x＋（－3x)＝2xが、(+5)x + (-3)x と言う意味の式であることが見えてくるでしょう。

★ここまでを復習させること。
そうすると
5x ＋(-3x)
= (+5)x + (-3)x
(結合)
= {(+5) + (-3)}x
= 2x
が、問題なく考えられるようになるはずです。

★大人が中学生に指導するとき、小学校で学んだ算数の基礎(小さい数から大きい数は引けない==真実です!!)、掛け算には順番がある(3個×5(皿)=5(個)は正しくて、3皿×5個=5個は間違い--真実11)を忘れているために、指導できない。
　その証拠に
＞生徒さんは「（－3x）」の前に「＋」があるんだから、答えは8xになる」と言います。どうやら今までの足し算や引き算と同じように考えてしまっているようです。
　いいえ、とても正しい理解なのです。負数という概念がない段階ではね。5xは、(+5)x、-3xは(-3)xという意味さえ理解できるように指導すれば良いのです。下手に否定するから混乱する。

お礼

ありがとうございます。

　私がむしろわからなくなって少し考えてしまいました。生徒さんは算数も怪しくて、かけ算やわり算もやっとなので、恐らく逆数は知らないと思います。交換則などについても説明すると余計数学を嫌いになると感じます。というか私が説明できません。

　ただ小さい数から、というのは確かにそうだなと感じました。自分でもすごく苦手だった単元なのに、自然とあっさり解けるようになってたので、あまり気になりませんでした。このあたりは参考にします。

　ご回答ありがとうございました。