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円の見え方
美術の指導書に書いてあることなのですが 目の前に円柱を置いた時 その上部の円の見え方なのですが 目線の位置（目と同じ高さ）では線分 そこから下に下げていくと楕円になり 下げるほど円に近ずく と説明されています 正確に言うと円柱の上部の円は手前が近く 向こう側が遠いので 向こう側が小さくなり 楕円にはならないと思うのですが 目の高さまで１ｍ １ｍ離して直径１０ｃｍの円柱を立てた時 円柱の高さが１ｍ、５０ｃｍ、０ｃｍ(地面に描いた円と同じ）として それぞれの上部の円の見え方を数式で示すことは可能でしょうか？
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- 中村 拓男（@tknakamuri）
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もうひとつ蛇足。 球を透視変換すると楕円体になります(視線方向に伸縮します)。 意外なことにいわゆる立体の卵形になったりはしません。 まとめると 1) 直線は直線に変換される。 2) 平面は平面に変換される。 3) 円は楕円に変換される。 4) 球は楕円体に変換される。 楕円体を任意の平面で切ると断面は楕円になります。 ちなみに、視点を 軸の L 位置に、透視用スクリーンを z軸の L-1 に置くと 透視変換は z' = z/(L-z) y' = y/(L-z) x' = x/(L-z) 逆変換は x=Lx'/(1+z') y=Ly'/(1+z') z=Lz'/(1+z') 透視変換とは立体投影で、透視とは z 方向から平行投影で透視変換された図形を見るという ことになります。 これから元の図形の方程式がどう変形するか容易にわかります。 傾いた円を透視変換すると、手前半分が膨れ、後ろ半分が縮まりますが、 つなげると楕円になります。 楕円の長軸は見た目の長軸と一致しなくなります。 参考: http://d.hatena.ne.jp/JunMitani/20100412
- 中村 拓男（@tknakamuri）
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ちなみに、投資変換では、直線は直線に変換されます。
お礼
１４でコメントいたします
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
>x' = x/(1-z) = x/(5-y) >y' = y/(1-z) = y/(5-y) ミス発見 x' = x/(5-z) = x/(5-y) y' = y/(5-z) = y/(5-y)
お礼
１４でコメントいたします
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
じゃ、簡単な例を。 y=z, 2y^2+x^2=1 ⇒ y軸に対して 45度 z軸方向に傾いた単位円 これを視点を z軸プラス方向において透視変換を x' = x/(1-z) = x/(5-y) y' = y/(1-z) = y/(5-y) とすると、逆変換は x = 5x'/(y'+1) y = 5y'/(y'+1) 元の式に入れて (y'+1)^2 をかけると 50y'^2 + 25x'^2 = (y'+1)^2 ⇒ 25x'^2 + 49y'^2 - 2y' -1 = 0 楕円です。長軸が上にずれているのが判ります。
お礼
１４でコメントいたします
自分の考え方の誤りが、まだ十分には理解できていませんが、結論からいうと楕円の方程式が完成するのであれば、当然楕円になる訳ですね。 大変失礼しました。 とても勉強になりました。
お礼
なんかややこしいな というのが正直な感想です 私も大きなところで勘違いしてるかも知れません
- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
先頃にも同じご質問が。 http://okwave.jp/qa/q8133616.html 簡単なことなのだけれども案外ワカッテナイもので、「土星とその環を、環の縁に立って眺めたらどんな風に見えるか」を作図してみる前に予想できる人はどのぐらい居るだろうか。
お礼
回答有り難うございます 同じ様な質問があったようなので読んでみました どうも解答が出ていないようですね かなり難解なことかもしれません
- ORUKA1951
- ベストアンサー率45% (5062/11036)
遠近法が関わってくるので、楕円でなくなるのではないか？？ いいいえ。一言で言うと遠近法が関わるから、無限遠から見ようと、近くから見ようと楕円なのですよ。 気が付かれると思いますが、見えている楕円の長軸は無限円なら円の両サイドですが、近くによると円への接線の位置になります。 最も簡単なイメージは、円に内接する任意の長方形を考えます。それを斜めに見たときの姿--ニ辺等辺、上下平行な台形が常に楕円に内接することを考えればよい。 まあ、十円玉を床において、遠くから見ても近くから見ても楕円であることからも。
お礼
回答有り難うございます ただ 本当に楕円に見えるのか という疑問は残ります 円に外接する正方形を考えます 目の前にサイコロがあり 目線より下に置かれていて かつ 人と平行の形 １の目が垂直（人と平行）、２の目が水平 これだけしか見えない状態に置いた時 ２の目の面は前方を長さaの線分で表すと後方はaより短い線分となります これに内接する円を考えると楕円にはならないと思うのですが 又 線分なんて言葉を使っていますがこれも便宜上であって 実際は曲線だと思います（opiokさんにコメントいたしました）
やはりミスがありましたが、今度こそ正解だと思っています。 ついでながら、ANo.2の上から9行目の「遠くは狭く見えるここと」は、「遠くは狭く見えることと」の誤りです。 楕円の方程式はx^2/0.05^2+y^2/b^2=1(0.05^2=2.5^-3) bを求める上での考え方は、二つの直角三角形の相似でよかったのですが、前回は直角を挟む二辺の比を考えてしまい、斜辺と底辺ではない方の辺の比を考えなければならないことに気付きました。 a：b＝c：dとした場合にa/b=c/dなのでこの両辺を2乗するとa^2/b^2=c^2/d^2 よってa^2：b^2=c^2：d^2が成り立つ 改めて整理すると (1)円柱の高さが1mのとき 線分として見えるのでy=0 (2)円柱の高さが50cmのとき (1+0.05)^2+(1-0.5)^2：(1-0.5)^2=(1.05^2+0.5^2)：0.5^2=1.3525：2.5^-1=2.5^-3：b^2 →b^2=(6.25^-4)/1.3525 楕円の方程式はx^2/2.5^-3+y^2/(6.25^-4)/1.3525=1 (3)円柱の高さが0cmのとき (1+0.05)^2+(1-0)^2：(1-0)^2=(1.05^2+1)：1=2.1025：1=2.5^-3：b^2 →b^2=(2.5^-3)/2.1025 楕円の方程式はx^2/2.5^-3+y^2/(2.5^-3)/2.1025=1
お礼
何度も御回答いただき有り難うございます 楕円の式でしめせる＝楕円になる と思うのですが何かを（微小と考え）無視しておられるのかもしれません 先程述べました 楕円の長軸の存在？が分りにくいのです
- 中村 拓男（@tknakamuri）
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楕円になります。 けっこう意外で有名な事実です。
お礼
回答有り難うごだいます 本当に楕円なのかが疑問に思えます
「回答するなら、よく確認してからにしろ」とお叱りを受けそうですが、ANo.4の「目線の位置より低くは下がらないので」は、「地面までしか下がらないので」の意味です。 なお、新たな疑問が生じましたのでしばらくお時間をください。 回答にミスのある可能性が出てきました。
お礼
了解いたしました
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お礼
数式はよく理解できていませんが参考で示して下さったところが理解しやすそうなのでよく読んでみます 変換を用いると楕円になりそうですが 実際の見え方とずれがあるのでは との考えが残ります ありがとうございました もう少し考えてみます これで一応終了といたします 回答戴いた皆様 ありがとうございました