統計学、検定の問題について質問です。

質問

問、4人の被験者にテストを2回実施して個人ごとに成績を比較した結果、次のようになった。
＋－＋＋
ここで『＋』と『－』はそれぞれ成績が向上した結果と低下した結果を表す。

(1)2回目のテストの成績は、1回目の成績よりも平均的によくなったかどうかを確かめたい。どのような種類の分布が利用できるか。分布の名称を記せ。
(2)差がないという仮説の検定を片側で行った場合のp値を求めよ。

以上の2問です。統計学の教科書を読んだのですが、分からないのでよろしくお願いします。出来れば説明も添えてくれると助かります。

回答No.1

島崎 崇（@tadopika）

(1) +, - 2種類の値を用いていることから、二項分布です。

(2) 差がないならば、+と-の数が同じくらいになると期待されます。逆に、差があれば、+か-どちらかに偏った結果になると考えられます。
+, -がそれぞれ1/2の確率で発生する場合に、+が4個中3個以上になる確率を求めます。
これは、コインを4回投げて、3回以上表が出る確率と一緒で、5/16となります。
この値が、即ちp値です。

p値5/16が一般的に用いられる危険率（0.05など）よりも大きいため、仮説を棄却できないことになります。つまり、有意に成績が変化したとは言えません。
因みに、+が4個並んだ場合でも、この確率が1/16ですので、やはり危険率0.05でも仮説を棄却できません。