因数分解のやり方を度忘れしました

質問

この式を因数分解したいのですが、やり方が分かりません。
x^6+3x^4+3x^2+1=0

回答No.3

noname#212313 · ベストアンサー

>x^6+3x^4+3x^2+1=0　―(1)

　xが偶数乗だけのときは、x^2を一つの変数としてしまうと少し見やすくなります。y=x^2とおいて、与式を書き換えてみましょう。

　y^3+3y^2+3y+1=0　―(2)

　公式などを覚えていればいいのですが、それを使わないで頑張ってみます。もしこれが、yの1次式y－aで割り切れる、つまり因数分解したら(y－a)の項が出てくるとします。それは、上式にaを代入したとき、式の値が0になればよいのです。

　足し算ですから正の数では0にならなさそうです。2乗の項と1乗の項の係数がどちらも3であることから、-1ではないかと思ってやってみると、うまいことに0になります。すると、(2)は次の形にかけることが分かります（※下記のaは上のaとは無関係です）。

　(y+1)(y^2+ay+b)=0　―(3)　（y-(-1)なのでy+1になっている）

　これの左辺を展開すると、

　y^3+ay^2+by+y^2+ay++-b=y^3+(a+1)y^2+(b+a)y+b　―(4)

となります。この(4)の最右辺と(2)の左辺は係数が等しいはずです。ですから、

　a+1=3
　b+a=3
　b=1

となります。これは簡単に解けます。一番上からはa=2、一番下からはそのままb=1が出ます。真中の式に代入してみても、それで合っています。ですので、(4)は次のように書き換えられます。

　(y+1)(y^2+2y+1)=0　―(5)

　右辺第2項の2次式も同じようにやってもいいのですが、さすがに2次式の因数分解は大丈夫でしょう。えいやっと書き換えてしまいます。

　(y+1)(y+1)^2=0　―(6)

　同じy+1ですからまとめてしまいます。

　(y+1)^3=0　―(7)

　y=x^2と書き換えたのでしたから、元のxでの式に書き換えます。

　(x^2+1)^3=0　―(8)

　実数の範囲ではこれ以上は因数分解できません。実数ならこれが最も簡単なまでに因数分解したものになります。

お礼

理解できました、ありがとうございます。

回答No.9

ORUKA1951

まっとうに挑戦しても大変です。No.8さんの言われるとおり
パスカルの三角形を思い浮かべられれば簡単です。
　⇒パスカルの三角形 - Wikipedia( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2#.E4.B8.89.E8.A7.92.E5.BD.A2 )

回答No.8

spring135

因数分解はパターンがあってそれを一通り記憶しておくとうまくいくことが多いです。

係数が1,3,3,1

これは3乗式だなと気が付けばあとは簡単、

(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1

を思いだし、x→x^2に置き換えれば完璧です。

中学生でも2乗式は習います。

1,2,1です。

つまり

(x+1)^2=x^2+2x+1

3乗式は2乗式の一段上の式、でも大したことはありません。

序に4乗式の係数は

1,4,6,4,1

5乗式の係数は

1,5,10,5,1

このような数の並びをパスカルの三角形といいます。または2項係数とも言います。

回答No.7

transcendental

（与式）　⇔　（ｘ＾２＋１）＾３＝０　⇔　（ｘ＋i）＾３・（ｘ－i）＾３＝０ですから、
ｘ＝±i、（いずれも３重解）
となります。

回答No.6

Tacosan

一応突っ込んでおくと, #2 でも指摘されていますが
x^6+3x^4+3x^2+1=0 を因数分解する
というのは表現として間違っています.

x^6+3x^4+3x^2+1 を因数分解する, なら正しいんだけど.

回答No.5

noname#212313

#3です。

　すみません、誤記がありました。以下のように訂正して、お詫びします。

誤>　y^3+ay^2+by+y^2+ay++-b=y^3+(a+1)y^2+(b+a)y+b　―(4)

正>　y^3+ay^2+by+y^2+ay+b=y^3+(a+1)y^2+(b+a)y+b　―(4)

回答No.4

chie65536（@chie65535）

＞x^6+3x^4+3x^2+1=0

え？

両辺から1を引くと

x^6+3x^4+3x^2=-1

になって「x^6」も「3x^4」も「3x^2」も「すべて０以上」だから、この式、解は無いよね？

「解はない」って事は「因数分解できない」って事だと思うけど、ちがう？

＞因数分解したいのですが、やり方が分かりません。

「x^2+7x+12」を因数分解する時は「この式が0になるx」を見付ける。

この式を因数分解して「(x+a)(x+b)」にした時、「(x+a)(x+b)=0」になるのは「(x+a)=0」と「(x+b)=0」の時だから「xが-a」と「xが-b」の時。

解の候補を分数で表すと「定数項の約数／最高次の係数の約数」になるから、±１／１、±２／１、±３／１、±４／１、±６／１、±１２／１、つまり、±１、±２、±３、±４、±６、±１２が候補。

x=-1ならx^2+7x+12は6。解じゃない。

x=1ならx^2+7x+12は20。解じゃない。

x=-2ならx^2+7x+12は2。解じゃない。

x=1ならx^2+7x+12は30。解じゃない。

x=-3ならx^2+7x+12は0。解。

x=3ならx^2+7x+12は42。解じゃない。

x=-4ならx^2+7x+12は0。解。

(x+a)(x+b)=0になるxは-3と-4。(-3+a)=0、(-4+b)=0なので、a=3、b=4。

つまり、「x^2+7x+12」を因数分解すると「(x+3)(x+4)」になるって事。

言い換えれば「式が0になるxを探す」って事。

逆に言えば「式が0になるxが無いなら、因数分解できない」のではないかと思うけど。

回答No.2

178-tall

>x^6+3x^4+3x^2+1=0

　　↓ u=x^2 として…
　u^3+3u^2+3u+1 = 0
　　↓ 左辺を整形して…
　u^3+3u^2+3u+1 = (u+1)^3 = 0

もとの式でいうと…？
　(x^2 + 1)^3 = 0
虚数を許容すれば…
　{ (x + i)(x - i) }^3 = 0

(右辺の零は要らんような気もしますけど)

回答No.1

asuncion

x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1
x^2 = tとおく。
与式 = t^3 + 3t^2 + 3t + 1
3乗の公式に当てはめる。
与式 = (t + 1)^3
= (x^2 + 1)^3