数学の不定積分について

質問

問題3.4.3 (3)

∫e^-kxcos(ωx+α)dx

この問題が分かりません…。

詳しい解答のやり方を教えてください！！

よろしくお願いします！！

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回答No.1

info222_

I=∫e^(-kx)*cos(ωx+α)dx
部分積分して
=-(1/k)e^(-kx)*cos(ωx+α)+(1/k)∫e^(-kx)*(-ω)sin(ωx+α)dx
=-(1/k)e^(-kx)*cos(ωx+α)-(ω/k)∫e^(-kx)*sin(ωx+α)dx
もう一度、部分積分して
=-(1/k)e^(-kx)*cos(ωx+α)
　-(ω/k)[-(1/k)e^(-kx)*sin(ωx+α)
　+(1/k)∫e^(-kx)*ωcos(ωx+α)dx]
=-(1/k)e^(-kx)*cos(ωx+α)
　-(ω/k)[-(1/k)e^(-kx)*sin(ωx+α)
　+(ω/k)∫e^(-kx)*cos(ωx+α)dx]
=-(1/k)e^(-kx)*cos(ωx+α)+(ω/k^2)e^(-kx)*sin(ωx+α)
　-(ω/k)^2*∫e^(-kx)*cos(ωx+α)dx
=-(1/k)e^(-kx)*cos(ωx+α)+(ω/k^2)e^(-kx)*sin(ωx+α)
　-(ω/k)^2*I
最後の項を左辺に移項して
I*(1+(ω/k)^2)
=-(1/k)e^(-kx)*cos(ωx+α)+(ω/k^2)e^(-kx)*sin(ωx+α)
両辺を(1+(ω/k)^2)で割って
I=[-kcos(ωx+α)+ωsin(ωx+α)](e^(-kx))/(k^2+ω^2)
=[ωsin(ωx+α)-kcos(ωx+α)](e^(-kx))/(k^2+ω^2) …（答）

お礼

ありがとうございます！
参考になります！！