真偽の判定をお願いします。（対称式からの帰結）

質問

０でない実数a,b,cに対して　a/b + b/c + c/a = 3　が成り立つならば、a = b = c が成り立つ。

この命題は真ですか？偽ですか？
偽の場合は反例があるのでしょうか？
真の場合は、どのように式変形したら明らかになるでしょうか？

右辺の３を左辺に移行して、両辺にabc≠0をかけると、
a^2 b + b^2 c + c^2 a - 3abc = 0
とできたり
ab(c-a) + bc(a-b) + ca(b-c) = 0
と変形できたりします。

アドバイスいただけたら幸いです。

回答No.3

staratras

＞０でない実数a,b,cに対して　a/b + b/c + c/a = 3　が成り立つならば、a = b = c が成り立つ。

偽です。
反例：a=1,b=-2,c=4 のとき、1/(-2)+(-2)/4+4/1=3 ですが、a≂b=cではありません。

詳しく検討します。b=xa,c=ya とおきます。a,b,cは0でないので、x≠0,y≠0 です。
a/b + b/c + c/a = 3　に代入すると　(1/x)+(x/y)+y=3
両辺に　xy(≠0)をかけて整理すれば　xy^2-(3x-1)y+x^2=0 yについて解くと
y=(3x-1±√D)/2x …(1) ただしD=-(x-1)^2(4x-1)
yが実数となるのは　D≧0　より　x<0 または　0<x≦1/4　またはx=1 …(2)

つまり(2)の範囲で(1)を満たすx,yの実数値を代入した（a,b,c)の組は題意を満たします。
例えばx=1のときy＝1で、これはa=b=c　の場合です
またx=-2 のときD=81 からy≂4またはy=-1/2 でこれは　冒頭の反例の場合(a,b,c)=(1,-2,4)を含みます。

ここで　0<x≦1/4　のとき　y<0 x=1のときy＝1　なので(1)にxの正の値を代入した場合にyも正になるのはx=1,y=1の場合だけです。

つまりa,b,cが同符号の場合に題意を満たすのはa=b=cのときに限られます。（これは相加平均と相乗平均の関係からも明らかです。）

下のグラフは(1)を表わしたもので、復号の+が赤、-が青です。

お礼

回答いただきありがとうございます。

a,b,cがゼロでないことに注意しながら、
２次方程式の解に帰着する考えかたなど、
大変参考になりました。

#1,#2さんの回答も貴重で、
さらに#3さんより回答をいただいたことが、
状況を深く理解することにつながりました。

赤と青でグラフを示して頂き、
とてもわかりやすかったです。

「相加平均・相乗平均」のところが、
自分にはまだ理解できていませんので、
さらに勉強していきたいと思います。

回答No.2

QoooL

ｂ＝(1/4)ａ
ｃ＝(-1/2)ａ

を代入してみると、すぐに反証できると思います。
（ａ≠0　なので、ａ≠ｂ、ａ≠ｃ）

もちろん対称式なので、他にも反例あり。

お礼

ありがとうございます。

bとcを変数aに従属させるだけで、
無数の解が得られるのですね。

参考になりました！

回答No.1

hashioogi

a=1と固定します。
すると
a/b + b/c + c/a = 3
は
1/b + b/c + c = 3
とbとcだけの式になります。
この式を展開していけばb=f(c)またはc=g(b)の関係が出てきて、その関係を満たせば常に
a/b + b/c + c/a = 3
を満たすことになります。ちょっとやってみてください。

お礼

お礼が遅くなりましたが、参考になりました。

３変数では考察が困難ですが、変数を１つ固定して２変数にすると
考察しやすくなるのですね。