確率の問題です。

質問

『
1からNまでの整数の値を書いたN枚のカードが袋に入っているとする。袋から無作為にカードを１枚抽出し、書かれていた値を記録し、カードを袋に戻す。この動作を繰り返しk番目の動作で抽出したカードの番号をukとする時の問いに答えよ。
(1)xn=max{u1,u2,...,un}とするとき、xn=ν(1≦ν≦N)となる確率を求めよ。
(2)yn=min{u1,u2,...,un}とするとき、yn=μ(1≦μ≦N)となる確率を求めよ。
(3)xnの期待値を求めよ。
』

という問題です。
n=2のときはN×Nのますを書いてxn=νになる確率は(2ν-1)/N^2だろう、
n=3のときはN×N×Nの立方体を書いてxn=νになる確率は(3ν^2-1)/N^3だろう
ってことは一般的にxn=νになる確率は(nν^(n-1)-1)/N^nだろうという予測はついたのですが、
それをどう理論的に説明するか、その方法が分かりません。
(3)に至っては見当もつかない状態です。

よろしくお願いします。

回答No.2

akun · ベストアンサー

こんにちは。
解答を書きますね。

(1)これは，求めるものを言い換えていくのがポイントです。
{xn=vである}={n枚がすべてv以下}かつ{vのカードが少なくとも一回はでる}={n枚がすべてv以下}-{vが一回もでない}={n枚がすべてv以下}-{n枚がすべて(v-1)以下}
となるので求める場合の数は
v^n-(v-1)^n
となります。n枚の出方すべての数はN^nなので，求める確率は
P(xn=v)=(v^n-(v-1)^n)/N^n
となります。これで，taropooさんの予測ともあいます。

(2)これも(1)と同様に言い換えをします。
{yn=uである}={n枚がすべてu以上}かつ{uのカードが少なくとも一回はでる}={n枚がすべてu以上}-{uが一回もでない}={n枚がすべてu以上}-{n枚がすべて(u+1)以上}
となるので，求める場合の数は
(n-u+1)^n-(n-u)^n
となります。よって求める確率は
P(yn=u)=((n-u+1)^n-(n-u)^n)/N^n
となります。

(3)これは(1)で求めた結果から，期待値の定義に当てはめればよいと思います。
E(xn)=1*P(xn=1)+2*P(xn=2)+3*P(xn=3)+…+N*P(xn=N)
=…
うーん，この計算はちょっとめんどくさいので，一度自分で考えてみてください。

とまあ，最後はいい加減になってしまいましたが，こんな感じだと思います。

お礼

(1),(2)、良く分かりました。

実はよーく見ると
> taropooさんの予測ともあいます。
あってないんです。;-P
甘かったです。

(3)については現在奮闘中です。
分からない場合には別質問として投げてみようと思います。

ありがとうございました。

回答No.1

shushou

(1)について
ちょっと考えると
最大値がνとなる場合の数＝
(すべてがν以下)-(すべてがν-1以下)
と、とらえられることが分かると思います。
したがって、求める確率は
(ν^n-(ν-1)^n)/N^n
だと思います。

(2)は(1)と同じように考えられます。
(1)が分かったので(3)は大丈夫ですね。

お礼

言われてみればその通りですね。
納得です。

> (1)が分かったので(3)は大丈夫ですね。

大丈夫じゃないです（ρ_;）
現在奮闘中。分からなければ別質問で投げてみます。

ありがとうございました。