球面上の面積分について

質問

球面上の面積分について
A(→)＝(xy、y、yz)を
半径1の円球面上で、Z軸からθ1とθ2の間の帯状の面で面積分したいのですが全くわかりません…
教えてください

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

ガウスの定理を使うのよ。
∫A・ndS = ∫(∇・A)dV
∇・A = ∂A_x/∂x + ∂A_y/∂y + ∂A_z/dz = y + 1 + y = 2y+1

∫A・ndS = ∫(∇・A)dV = ∫∫∫(2y+1)dxdydz

ここで、極座標を使う。
　y = rsinθsinφ
　dxdydz = r^2sinθdrdθdφ
　0≦r≦1, θ1≦θ≦θ2, 0≦φ≦2π

∫∫∫(2y+1)dxdydz = ∫∫∫(2rsinθsinφ+1)r^2sinθdrdθdφ

積分範囲は　0≦r≦1, θ1≦θ≦θ2, 0≦φ≦2π。
この積分をやれば、答えは出ます。
タダの累次積分だから、後はできるでしょ。

頑張って計算してください。
積分はdr,dφ,dθの順番でやった方が楽ですよ、きっと。

お礼

できました！！！
ありがとうございます！
すごく助かりましたm(_ _)m