黄金比の証明。

質問

１＋(√5)
１：――――――
　　　　　２
この黄金比はピラミッドやギリシア文化に使われています。
その証明方法について教えてください。
なぜ、美しく見えるのか？
詳しくお願いします

回答No.4

stomachman

φ=(√5+1)/2, 1/φ=(√5-1)/2
黄金比φを持つ長方形をひとつ見せられたところで、特別綺麗に見えるという訳じゃあない。しかし、幾何学的デザインに向いた面白い性質があります。

　一例として、沢山の（全て辺が平行か垂直な）正方形を使って渦巻きを作ってみましょう。（これは「再帰的」ということを活かした簡単な自己相似図形です。）
　１辺１の正方形（でかいやつが良いです）を描いてください。その頂点を時計回りでABCDとします。
　次に、辺ABに外接する一辺(1/φ)の正方形を描きます。この小さい正方形は一つの頂点C'がAと一致していて、もう一つの頂点B'がAB上にあるようにします。そしてもとのでかい正方形の外側にあるんですよ。この小さい正方形にも頂点に時計回りにA'B'C'D'と名前を振りましょう。B',C'が決まっているから、一意的に名前が付きますね。
　今度は正方形A'B'C'D'に対して、辺A'B'に外接する一辺(1/φ^2)の正方形を描きます。この小さい正方形は一つの頂点C''がA'と一致していて、もう一つの頂点B''がA'B'上にあるようにします。これにも頂点に時計回りにA''B''C''D''と名前を振りましょう。
　同じようにして、４個目の正方形を作ります。すると４個目（一辺(1/φ^3)）の頂点D'''は、最初の正方形（一辺１）の頂点Bとぴたり一致し、A'''は辺AB上に来ます。そして、真ん中にA''',B'''B'',B'で囲まれた長方形がのこります。さらに小さい正方形を作り続けていくと、この長方形の中をぐるぐる回りながら、どんどん埋めていきます。
　今度は逆に、最初の正方形ABCDの隣に一辺φの正方形を描きましょう。辺BCに接するようにして、Cに頂点が来るようにします。これも同じように続けていくことができ、ぐるぐる周りでどんどん拡大していく渦巻きができあがります。

　それぞれの正方形の中に、その頂点B(B',B'',....)を中心とし、その正方形の一辺を半径とする１／４円弧を描いてみると素敵な図柄になります。hero1000さんご紹介のHPに書いてある「巻き貝」を彷彿とさせますね。

回答No.3

hero1000

黄金比は、ある数学的性質を持った比のことですから、黄金比そのものを証明
することはできません。
「なぜ美しく見えるのか」についても誰も証明できないと思います。

では、黄金比とはどんな数学的性質を持ったものなのか？についてですが、
これは参考URLをご覧になっていただいた方が早いでしょう。

自然界にも黄金比がたくさん見られるとのことで大変興味深いですよね。

参考URL：

http://www.asahi-net.or.jp/~WE4K-KGMY/number/ratio2.html

回答No.2

a-kuma

黄金比は *再帰的な* 比率です。

　←──Ａ──→
├───┼──┤
　←Ｂ─→←Ｃ→

としたときに、A:B=B:C になるような比が黄金比です。
その式から B×B=A×C が導けます。
A=B+C ですから、B×B=(B+C)×C です。ここで、黄金比 r を
r=B÷C とおけば、B=C×r ですから、

(C×r)×(C×r)=(C×r+C)×C

となります。式を整理して、両辺を C×C で割ると、

r×r-ｒ-1 = 0

となります。これに解の公式を当てはめると

　　1±√5
r=────
　　　2

が得られます。長さの比率ですから、マイナスの方の解を無視すると
それが黄金比です。

「なぜ、美しく見えるのか？」の証明にはなっていませんが、
再帰的な連続性が美しく見える、ということにつながるのかも
しれませんね。

回答No.1

siegmund

線分ＡＢ上に点Ｐを取って，
(1)　　AP:PB = PB:AB
になるようにするのが黄金分割で，比の AP:PB が黄金比です．
黄金比をｘとしますと，(1)は
(2)　　x:1 = 1:(1+x)
ですから，
(3)　　x(1+x) = 1　　⇒　　x^2 + x - 1 = 0
で，この２次方程式の正の解が
(4)　　x = (√5 - 1)/2
です．
shu84 さんの表現では
(5)　　x = 2/(1 + √5)
ですが，見かけの違いだけで同じことですね．

昔からもっとも美しい分割法されていますが，なぜなんでしょうね？

余談ですが，
フィボナッチ数列 1，1，2，3，5，8，13，... の一般項(初項は第０項)が
(6)　　(1/√5) {(1/x)^(n+1) - (-x)^(n+1)}
です(ビネの公式)．

また，
(7)　　x = 1/(1+x)
ですから，逐次代入してゆけば連分数展開が得られます．