確率

質問

カードが２０枚あります。
当たりが１枚だけあります。
１１枚カードが引けます。
この場合、当たる確率はどう計算したらいいでしょうか？
（１枚引いてそのカードを元に戻す場合、一回でも当たりを引く確率の計算方法も伺いたいです。）

回答No.3

QoooL · ベストアンサー

【１枚引くごとにそのカードを元に戻さない場合】
ただし、「１回当たった時点でやめる」。
１枚目で当たる　→　１／２０
２枚目で当たる＝１枚目では外れている　→　（１９／２０）ｘ（１／１９）＝１／２０
３枚目で当たる＝１枚目、２枚目では外れている　→　（１９／２０）ｘ（１８／１９）ｘ（１／１８）＝１／２０

同様に
ｎ枚目で当たる　→　１／２０
一見、残り札が少なくなれば当たる確率が変わる気がするかもしれないが、この種のくじ引きでは、先に引こうが後に引こうが確率は変わらない。

ｎ枚目「までに」当たる　→　（１／２０）ｘｎ　＝　ｎ／２０

１１枚目「までに」当たる　→　１１／２０

これは実は、最初に２０枚の中から適当に１１枚選んで、せーの、ドン！　でひっくり返してその中に当たりが入っている確率、と変わらない。
詳しいことは他の人の質問の中にも書いてあるし、私自身も答えたことがあります。

当たり前だけど、仮に
２０枚目「までに」当たる　確率を考えると、２０／２０＝１　になる。

【１枚引くごとにそのカードを元に戻さない場合】
ただし、「１回当たった時点でやめる」とはしない。当たっても、残りは外れとわかっていても、１１回目まで続ける。

考え方が違うだけで、答えは上の場合と同じ。

全事象
＝２０枚から１１枚を選ぶ組み合わせ（順番は無視して良いので順列ではない）
＝２０Ｃ１１

当たりカードの選び方　１通り

外れカードの選び方
＝１９枚から１０枚を選ぶ組み合わせ（順番は無視して良いので順列ではない）
＝１９Ｃ１０　通り

組み合わせで考える理由は、「これとこれとこのカードが選ばれる」ということだからです。順番を考えても良いけど、とんでもなく大きな数になるので、順番は無視します。

求める確率
（１ｘ１９Ｃ１０）／２０Ｃ１１

計算はおまかせします。確率を「どう計算したらいいでしょう」とお尋ねになるくらいだから、Ｃ、Ｐくらいはご存知でしょう？
（それに、私は、答えまで丸々聞こうとする人をあまり好みませんから、質問者さんがご自分でも手を動かす方であることを期待します。）

…とか言っても、私が、
答えは　１１／２０　になる
と予言しましたよね（笑）

Ｃに慣れている人だと、少し計算を簡単にする工夫をします。
（１ｘ１９Ｃ１０）／２０Ｃ１１　＝　１９Ｃ９　／　２０Ｃ９
…ということは、かなり多くの数字が、消えて消えて消えて…？

【１枚引くごとにそのカードを元に戻す場合】
ただし、「当たった時点でやめる」とはしない。

１１回引く中で　ｋ回　当たりを引く確率は、
ほとんど公式的に、
１１Ｃｋ・（１／２０）＾ｋ・（１－（１／２０））＾（１１－ｋ）
で表されます。

「反復試行」というキーワードで数学の教科書や問題集に載っているはずです。
ｎＣｋ・ｐ＾ｋ・（１－ｐ）＾（ｎ－ｋ）

この式の意味ですけど。
例えば　１１回中２回　当たる場合、
当たりを　○　外れを●で表すと、
●●●○●●○●●●●
●●○●●●○●●●●
●●●●●●●○●●○
などなど。
１１回のうちどこで当たるかわからないので、その組み合わせは　１１Ｃ２　通りあるわけです。

２回当たる確率は　（１／２０）ｘ（１／２０）＝（１／２０）＾２
１１－２＝９回外れる確率は　（１９／２０）ｘ（１９／２０）ｘ…ｘ（１９／２０）＝（１／２０）＾９

というわけで
１１回引く中で　２回　当たりを引く確率は、
１１Ｃ２・（１／２０）＾２・（１９／２０）＾９
です。

同様に、
１１回引く中で　０回　当たりを引く（１回も当たらない）確率は、
１１Ｃ０・（１／２０）＾０・（１９／２０）＾１１　＝　（１９／２０）＾１１
です。

「補事象を考え」れば、
１１回中１回でも当たりを引く確率は、
１－（１９／２０）＾１１
です。
計算はご自分でどうぞ。

参考までに、
１回　当たりを引く確率は、
１１Ｃ１・（１／２０）＾１・（１９／２０）＾１０

２回　当たりを引く確率は、
１１Ｃ２・（１／２０）＾２・（１９／２０）＾９

３回　当たりを引く確率は、
１１Ｃ３・（１／２０）＾３・（１９／２０）＾８

……
１０回　当たりを引く確率は、
１１Ｃ１０・（１／２０）＾１０・（１９／２０）＾１

１１回　当たりを引く確率は、
１１Ｃ１１・（１／２０）＾１１・（１９／２０）＾０

ですから、全部足したら上と同じ答えになります。
これによって◎回以上当たりを引く確率、も求められますね。

お礼

ありがとうございます

回答No.2

gomagoma427

11枚のカードを、１枚ずつ戻さずに引いていく場合、11枚引くまでに当たりを引く確率は、

１．1枚目に当たりが出る確率＝１/20
２．2枚目に当たりが出る確率＝（１９./２０）（１/１９）＝１/２０

と11枚目まで確認していくと、すべて確率は１/２０ですので、11個足して１１/２０が求める確率になります。

また、これと同じ作業を一度にした場合、つまり一度に同時に11枚ごっそり引いた中に当たりがある確率を求める場合は、よくある組み合わせの記号を使って

(1C1 x 19C10) ÷ (20C11)

で計算し、答えはまたもや11/２０になります。

１枚引いてそのカードをもとに戻したときに、11回のうち1回でも当たりを引く確率は、逆に1回も当たりを引かない確率を１から引けばよいことになります。

１－（１９/２０）＾１１　＝　０．４３１２（小数点第四位まで）

したがって確率としては４３パーセントほどになります。

お礼

ありがとうございます

回答No.1

fluidicB

この場合、

全部外す　または　１回以上当たる

のどちらかなので、両者を合わせた確率は１　（100%）と考えて、
計算しやすい「全部外す確率」を計算してから、
１－（全部外す確率）
として求めるのが定石です。

お礼

ありがとうございます