ルートの計算が解けません

質問

√（500√3）^2　-　√500^2 = 500√3-1 = 500√2となる問題があるのですが、
解くことができません。

√の引き算は同じ√同士でしかできないと考えていますが、間違っているのでしょうか？

途中式も含めて教えていただけたらと思います。よろしくお願いします。

回答No.7

ORUKA1951 · ベストアンサー

＞・同じルート同士でしか引き算できないのに√3からなぜ√1を引けるのか？
　そんな計算どこでもしてないです。!!!
　^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
もう一度No.3に戻って説明しなおします。
√{(500√3)^2 - 500^2}
　これを書き直すと
=√{(500√3)² - 500²}

ルートは全体にかかっているので、先にその中だけ計算します。!!!
★{(500√3)² - 500²}

　数に当たる物を（）で囲むと
=(500)(√3)}² - (500²)

= (500²)(√3)² - (500²)
　　(a*b)ⁿ = aⁿ*bⁿ　　(指数法則) これはわかりますよね
　　　　　　　(2*3)⁴ = (2*3)*(2*3)*(2*3)*(2*3)
　　　　　　　　　　　　= 2*3*2*3*2*3*2*3
　　　　　　　　　　　　= 2*2*2*2*3*3*3*3
　　　　　　　　　　　　= 2⁴*3⁴

= (500²)(√3)² - (500²)×1　と見ると
　両方に同じ(500²)という数がかけられているので・・
　[結合]
= (500²){(√3)² - 1}
　(√3)² = 3ですから
= (500²)(3 - 1)
= (500²)*(2)
　これがルートの中★部分です。
√★　すなわち、
√{(500√3)² - 500²}
= √{(500²)*(2)}
ですね。
　ここで再び指数法則・・・(a*b)ⁿ = aⁿ*bⁿを使います。
　　ただし、(a*b)ⁿ = aⁿ*bⁿのnは(1/2)ですね。
　　　√a と a^{1/2}が同じなのは、掛け合わせて見るとわかる。
　　　　√a * √a = a
　　　　a^{1/2}×a^{1/2} = a^{1/2 + 1/2} = a^{1} = a

= √(500²) * √(2)
　^^^^^^= 500
= 500√2

電気でしたら３乗根もｎ乗根も、ｎ乗も出てきます。

お礼

= √{(500²)*(2)}

= 500の二乗は(^2 * ^1/2)で1になり、
2は1/2乗され√2になるということですね。

√は1/2乗と意識することで解けました。

ORUKA1951さん長々とお付き合いいただきありがとうございました。おかげさまで理解できました。

回答No.6

ORUKA1951

＞3² = 3 → 3 = √3
＞√3 = 3 → 3 = 3²
＞ということですよね。

　いいえ、よく式を見てください。
a² = 3 → a = √3
√3 = a → 3 = a²
　なら良いです。

＞(500²)(3 - 1)
＞これは=を挟まなくても
＞500√3-1に変形できるんでしょうか？
　それもダメです。
　まず、500√3-1 ≠ 500√(3-1)　　どこまで√がかかるかわからない!!

(500²)(3 - 1)ではなくて
√{(500²)(3 - 1)}
　＝√{(500²)}×√(3 - 1)
　＝500×√(3 - 1)

・・・・どこからどこまでが【ひとつの数】とみなすかを誤解されないように明示しなくてはなりません。言い換えれば未知数だろうが（）で括られていようが、それもひとつの数だと思わなければならない。

　一度、中学校の数学の教科書を徹底的に復習しましょう。急がば回れ!!結果的にそれが一番早い。

　ちなみにルートは^(1/2)と書いたほうがわかりやすくなります。いずれ三乗根とかｎ乗根とか出てきますので。

補足

わからないことが3つあります。

= 500√3 -500
= 500(√3 -1)　

・同じルート同士でしか引き算できないのに√3からなぜ√1を引けるのか？

・この-500が√-1になるにはどんな計算をしているのか？

・仮にできたとして、分配法則で500(√3 -1)を戻すと500√3　-　500√1 = になり、√の数が違うため√は計算できず、500だけ引いて
500√3　-　500√1 =　√2になるのではないか？

もしかしたらチグハグな質問かもしれませんが、この三点についてよろしくお願いします。

回答No.5

ORUKA1951

＞ab + ac = a(b + c)これは分配法則ですよね。
　いいえ、結合則デス。
　a(b + c)=ab + ac ・・・分配するので分配
　ab + ac = a(b + c)・・・結合則
　a?b = b?a　?は+と×
　この３つは四則演算で最も重要な法則ですが、その前提として引き算、割り算を負数の加算、割り算を逆数の掛け算を書き直したものと言う前提があるということ。

＞わからないのは500²(√3)² + (-1)(500²)の
(-1)を√(-1)として捉えたらいいんでしょうか？
　(500²)が数ですから、それで括ります。
(500²)(√3)² + (-1)(500²)
　　　交換則で並び替える。
= (500²)(√3)² + (500²)(-1)
　　　a × b　　+　　a × c　とみなせるので結合して
= (500²)( (√3)² + (-1)　)
　　√(3)² = 3
= (500²)( 3 + (-1)　)
　　= (500²)(3 - 1))

補足

= (500²)( (√3)² + (-1)　)　ここまでは理解できました。

電気の問題でも出てくるのですが、
3² = 3 → 3 = √3
√3 = 3 → 3 = 3²
ということですよね。

(500²)(3 - 1)
これは=を挟まなくても
500√3-1に変形できるんでしょうか？

回答No.4

ORUKA1951

= √{500²(√3)² - 500²}
　　結合
　　　ab + ac = a(b + c)
= √{【500²】(√3)² + (-1)【500²】}
　　　【500²】か゜上のaに当たりますね。
= √[【500²】{(√3)² + (-1)}]
　　√(a*b) = √a * √b
　　　これは指数法則で考えても良い。(a*b)ⁿ = aⁿ*bⁿ

= √【500²】　×　 √{(√3)² + (-1)}

= √500²・√{(√3)² - 1}

　　指数法則　abⁿ = aⁿbⁿ　　n = 1/2
= √500²・√{(√3)² - 1}
= 500・√(3-1)
= 500・√2

★ -500²は、中学校の負数を理解していれば、+ (-1)500 と同じ意味だと自然に出てくるはずです。
　繰り返しますが、
引き算(-)は、負数を加えることを簡略化して示していること
割り算(÷)は、逆数をかける事を簡略化して示している
　たったひとつ、この部分を理解してこなかった。
y = ax² - bx - c
は、
y = (+a)x² + (-b)x + (-1)c
　を簡潔に示したものでした。

500²(√3)² - 500²
とは
500²(√3)² + (-1)(500²)
を簡単に記述した物、常に元々はどういう意味かを把握しておかないと!!!

補足

ab + ac = a(b + c)これは分配法則ですよね。

わからないのは500²(√3)² + (-1)(500²)の
(-1)を√(-1)として捉えたらいいんでしょうか？

回答No.3

ORUKA1951

＞√{(500√3)^2 - 500^2}
No.1への補足＞-500^1として捉えているのしょうか？

　ここで躓くという事は、中学校数学の最初の最初--数の拡張を落としてしまったようです。
小学校で、
・掛け算には順番がある 計算には順番がある。
　５個のりんごが３皿なら、5×3でなければならない。
・小さい数から大きい数は引けない
　財布から100円払った、500円貰った、財布の中に600円あったという計算は600-500+100=と
・計算の順番は変えられない
　5-3≠3-5、10÷2≠2÷10
と厳しく習ったはず

それが中学校で、負数、逆数を導入することによって
　5×3 = 3×5、(⁻100) + 500 = 600、5 + (-3) = (-3) + 5、10×(1/2) = (1/2)×100
となり、交換、分配、結合がすべての数について四則演算で成り立つこと。二次方程式が
Y = ax² + bx + c というひとつの式で表せることも学んだはず。

　ここを押さえていると
√{(500√3)^2 - 500^2}
= √{500²(√3)² - 500²}
　　結合
= √500²・√{(√3)² - 1}
　　指数法則　abⁿ = aⁿbⁿ　　n = 1/2
= √500²・√{(√3)² - 1}
= 500・√(3-1)
= 500・√2

※√が、^(1/2)であるのは、指数法則
　a^{x} × a^{y} = a^{a+b}　より、a^{1/2}×a^{1/2} = a^{1/2 + 1/2} = a^1

補足

仰るとおり基本ができていないと思います。電気数学の勉強をしており、等式の変形はよく出てくるので少しは理解しているつもりです。

もう少し詳しく説明していただきたいのですが、
= √{500²(√3)² - 500²}の部分がいまいちわかりません。
- 500²がなぜ-1になるのでしょうか？

√の中の二乗は√で打ち消せることは理解しています。

回答No.2

ORUKA1951

数式がわからないです。
√{(500√3)²} - √{500²}
= √{500²(√3)² - 500
= 500(√3² - 1)
= 500(3-1)

＞√の引き算は同じ√同士でしかできないと考えていますが、間違っているのでしょうか？
　ルートとは、1/2乗、0.5乗のことですから、xⁿ - xⁿ⁻¹ = (x-1)xⁿ　と同様に、結合則で括れば積の形には直せます。
　(ab)ⁿ = aⁿbⁿ　a*a*a*a*a*b*b*b*b*b = a*b*a*b*a*b*a*b*a*b

＞√（500√3）^2　-　√500^2
　これって正しいですか？？

補足

ありがとうございます。
正しく書き直しましたが、これでいかがでしょうか？
__________________
√(500√3)^2 - 500^2
　　　____
= 500 √3-1

=500√2

回答No.1

info222_

>√の引き算は同じ√同士でしかできないと考えていますが、
その通りで良い。
>間違っているのでしょうか？
間違っていません。

>√（500√3）^2　-　√500^2 = 500√3-1 = 500√2
間違い。
正しくは
√（500√3）^2　-　√500^2
= 500√3 -500
= 500(√3 -1)　…（答）
≠ 500√2

補足

ありがとうございます。

わからないのは、
= 500√3 -500の部分なのですが、
これがなぜ計算できるのかがわかりません。

-500^1として捉えているのしょうか？