鉄製パイプのトルクとねじれに対する歪の関係

質問

鉄製のパイプをトルク=Ｔでねじると歪=δが発生します。
トルク=Ｔと歪=δの関係は
引っ張り試験の応力と歪の関係の様に弾性限界までは
ほぼ1次的に比例関係があるのでしょうか？
あるような気もしますが、物性と物理にが良くわかっていないので
どなたかご教示いただけると幸いです。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

ねじりには大別して、単純ねじりと反りねじりがあります。反りねじりの方は、弾性範囲であっても取り扱いがやっかいなのですが、今は鋼管パイプという事で、閉断面かつ円形中空断面とすれば、反りねじりの影響は十分小さく、単純ねじりで十分でしょう。

　　http://www.structure.jp/column14/column14_5_4.html　の真ん中あたり．

　で、単純ねじりなら、あなたの予想通りになります。ただし、「引っ張り試験の応力と歪の関係の様に弾性限界までは、ほぼ1次的に比例関係がある」のは、別にねじりに限った話ではなく、弾性理論一般の前提です。また弾性理論の適用範囲は、概ね微小変形理論の範囲なので、「トルク=Ｔと歪=δの関係」は線形（比例）と考えて大丈夫です。

　さて単純ねじりを考えます。円形の鉄パイプをねじると、鉄パイプは断面形状を保ちながら回転すると近似できます。断面どれだけ回転するかは、固定端からの距離によります。

　そこで隣り合う断面間を考えれば、そこは断面形状に沿った純せん断状態になるはずです。断面外周のある点のせん断歪みをτとすれば、その反対側の点の歪みτ’が、τと逆符号である事はたやすく測定できます。

　注目した点と反対側の点とを結ぶライン上での、せん断歪みの分布を考えます。せん断歪み分布はライン上で、τから始まり反対符号のτ’で終わるのですから、どこかにτ＝0の点があり、そこが「ねじり中心」であるはずです。

　「ねじり中心」を基準に考えます。ねじり中心から距離ｒ離れた点のせん断歪みを想像します。それはトルクが回転である事から、ｒに直交する方向であるはずです。かつその大きさは、微小変形理論という事から、距離ｒに比例すると仮定できます。

　つまり微小なτとτ’の間の変化勾配など直線（必ず0を通る）で十分だ！、という発想です。この発想のもとに、せん断弾性係数をＧ，せん断歪みの勾配をaとして、「ねじり中心」からの距離ｒに比例した（傾きaGの）せん断応力の合力を計算します。

　この合力は、かけているトルクＴのみを生み、水平方向や鉛直方向の合力は0である必要があります（作用力はＴのみだから）。この条件から「ねじり中心の位置」が決まります。結果はa，Gに関わらず、断面の図心です。つまり円形断面なら、その中心が「ねじり中心」です。

　次に歪み勾配aを決めます。ａＧ×ｒ×ｒを断面で積算したものは、トルクＴに等しくなければなりません。ここからａが決まりますが、この計算過程で出てくるｒ×ｒ＝r^2を断面で積算した量が、極断面2次モーメントといわれる断面係数Ｊで、曲げ作用の場合の断面2次モーメントＩに相当する量です。

　Ｊは、「ねじり中心」を通る水平軸および鉛直軸に関する断面2次モーメント、IxとIyの和です。IxとIyの回転軸（中立軸）も図心を通ります。

　けっこう面倒くさいですが、地道にやれば、必ず計算可能です・・・(^^；)。

お礼

ご回答本当にありがとうございます！！
ちょっと高度すぎてゆっくりリンクを見せていただきます。
分解不可の機構の軸トルクを軸のねじれ歪から推定しようと企んでいます・・・
歪ゲージメーカーのホームページでは大丈夫そうでしたが、現場一発勝負ですので
不安でしたので安心致できました！！