数学の問題です。

質問

考え方がわかりません。
ある程度絞ってから総当りしかないのでしょうか？
ご教授の程宜しくお願いします。

回答No.7

QoooL · ベストアンサー

＃６です。
直接の回答ではありませんが、説明のための画像がつぶれてしまったので、
やむを得ず再送します。

絵で回答するとき、ファイルサイズ制限は苦しいなあ、としみじみ思いました。
お役に立てば幸いです。

（＃５の画像中に書いていたこと）
交点に場合の数を書き込む方法
＝手前の交差点の数を　足し算（それぞれを通ってくる事象は互いに排反だから）

例：　Ａから(01)(34)の両方を通りＢへ行く場合の数

1)　Ａから上(01)に行くのは１通り
　　Ｂから右(10)に行くのは０通り

2)　(01)から上(02)に行くのは１通り
　　(02)から上(03)に行くのも１通り
　　(03)から上(04)に行くのも１通り
「右上に最短経路で向かう」という問題の場合、
左や下に進むことはないので、
左端には一気に１，１，１，１と書き込める

3)　(01)から右(11)に行くのは１通り
　　(10)から上(11)に行くのは０通り
（０通りは、考えるのを省略しても良い）
よって(11)に行く方法は合計１通り

2)と同様に下端には一気に１，１，１と書き込める
（(41)には行かない）

4)　(02)から右(12)に行くのは１通り
　　(11)から上(12)に行くのは１通り
よって(12)に行く方法は合計２通り

5)　以下同様に左下の方から足し算を繰り返す

Ａ→(01)→(34)→Ｂ　は　２０通り

以上が行きの場合。
帰りの場合は、
おっしゃる通り、２０通りそれぞれについて地道に別々の図を描いて場合分け。
行きの時に通った点を印しておいて（太線など）そこを通ってはいけないことをわかるようにし、あとは同様に右上の方から交点上に数字を書き込んで行く。

以上です。＃６の図は見ずらいし無意味なので無視して下さい。

お礼

詳しくありがとうございました。おかげさまで理解出来ました。

回答No.6

QoooL

＃３です。

逆質問へのご回答ありがとうございました。

＃４、＃５の方が既に答えていらっしゃって、私も同じ解き方なので、割愛します。

私は、２倍するのを忘れていました。
３５０が正しいです。
自信あるとか言ってしまって恥ずかしい。

＃４の方の数字書き込み方、御存知だと思いますが、一応補足の画像を付けておきます。
他は解き方が一緒です。
数式でいろいろ悩むより、視覚的にわかりやすいまとめを描いてしまった方が早いこともあります。
（例えば樹形図は、典型的な、「数式を視覚化した例」です。）

漸化式の方も図に描き込んだ方も、考え方は全く一緒です。

役に立てなかったのに後から偉そうにすみません。
失礼しました。

回答No.5

nag0720

あえて漸化式で求めてみましょうか。

縦の道路に１～５の番号を付けます。

関数P(a,b)を次のように定義します。
一番上の段のaを通り点Bを経由してbを通る経路の数をP(a,b)とする。

同様に２段目,３段目,４段目についても、aを通り点Bを経由してbを通る経路の数をQ(a,b),R(a,b),S(a,b)とします。

そうすると次の漸化式が成り立ちます。

P(1,5)=P(2,5)=P(3,5)=P(4,5)=1

Q(1,2)=P(1,5)=1
Q(1,3)=P(1,5)+P(2,5)=2
Q(1,4)=P(1,5)+P(2,5)+P(3,5)=3
Q(1,5)=P(1,5)+P(2,5)+P(3,5)+P(4,5)=4
Q(2,3)=P(2,5)=1
Q(2,4)=P(2,5)+P(3,5)=2
Q(2,5)=P(2,5)+P(3,5)+P(4,5)=3
Q(3,4)=P(3,5)=1
Q(3,5)=P(3,5)+P(4,5)=2
Q(4,5)=P(4,5)=1

R(1,2)=Q(1,2)+Q(1,3)+Q(1,4)+Q(1,5)=10
R(1,3)=Q(1,3)+Q(1,4)+Q(1,5)+Q(2,3)+Q(2,4)+Q(2,5)=15
R(1,4)=Q(1,4)+Q(1,5)+Q(2,4)+Q(2,5)+Q(3,4)+Q(3,5)=15
R(1,5)=Q(1,5)+Q(2,5)+Q(3,5)+Q(4,5)=10
R(2,3)=Q(2,3)+Q(2,4)+Q(2,5)=6
R(2,4)=Q(2,4)+Q(2,5)+Q(3,4)+Q(3,5)=8
R(2,5)=Q(2,5)+Q(3,5)+Q(4,5)=6
R(3,4)=Q(3,4)+Q(3,5)=3
R(3,5)=Q(3,5)+Q(4,5)=3
R(4,5)=Q(4,5)=1

S(1,2)=R(1,2)+R(1,3)+R(1,4)+R(1,5)=50
S(1,3)=R(1,3)+R(1,4)+R(1,5)+R(2,3)+R(2,4)+R(2,5)=60
S(1,4)=R(1,4)+R(1,5)+R(2,4)+R(2,5)+R(3,4)+R(3,5)=45
S(1,5)=R(1,5)+R(2,5)+R(3,5)+R(4,5)=20

求める答えは、S(1,2)+S(1,3)+S(1,4)+S(1,5)=175
逆順を別ルートとすると、350通り。

なお、R(a,b)の一般形は、
R(a,b)=Σ[a≦i＜b≦j≦5]Q(i,j)
となります。（Q,Sも同様）

お礼

なんとも長々とした文章を書いていただきありがとうございました。

回答No.4

MagicianKuma

A→Bの往路20通りについて復路の数を丹念に数えるのが早いかも。
往路が復路の上側の場合を図で示すと以下の通り、175通り。往路復路逆ルートも考えると答えは350通り。

お礼

図までありがとうございます。

回答No.3

QoooL

１５年以上プロ家庭教師をして、小学生、中学生、高校生、社会人（就職試験）など数学をたくさん教えてきた者です。
その経験の中でもこの問題は一番難しい部類に入りますね。
画像の右下の文字が小さくてはっきり読めませんでしたが、「最上級問題」でしょうか。

答えは　１７５　通り　です。

自信があります。
ただし、「同じ点を通らない」という意味は、下図のように、「クロスもダメ」という意味だと受け取りましたが、もし違うなら早めに教えてください。
（「行きが２０通り」とおっしゃっているので、私の解釈は誤っていないものと信じています。）

今、説明のために清書の画像を作っていますが、
画像添付前に先に教えてください。

●どこの問題でしょうか？
　入試問題集や過去問などではなく、パズルですか？

他の方への補足で「順列」に言及されていますが、高校数学の順列の授業のように解いた方が良いですか？　それとも中学入試と同様、解ければ何でも良いですか？　大人の頭の体操のためのパズルの本ですか？　正解は付いていないのでしょうか？

ご回答いただいたら後で説明貼ります。準備にもう数時間お待ちください。

補足

算数星人というサイトで拾ってきた問題で、答えはありません。小学生の知識でも解けるものと思われます。

回答No.2

mrst48

図の中の「点」は
ＡとＢの所の『黒い丸の印』の
２個と言う事？
そのような事ならば
黒い丸に触れないように
四角形の外側の余白部分を
四角形に沿ってＡ文字からＢ文字、
そしてＢ文字からＡ文字と四角形を
回るようにそれぞれの文字を結ぶのが
最短ではないかと。
なので、１通りだと思います。

補足

直線と直線の交点を「点」と表しているものと
思われます。

回答No.1

Lady_osaka

最短ルートは、右に行くのが4回、上に行くのが4回です。
つまり右と書いた球を4つ上と書いた球を4つ用意して
順番に引いた場合の組み合わせを求める問題です。

補足

同じ点を通ってはいけないという条件があるので。
Aを基準に座標軸を取るとき、A→Bのとき
（01）、（34）を通るとき
（41）、（42）、（43）が通れないので、
（01）、（34）を最低の道順で通る順列が20通りある
とまでは考えたのですが、その後が全くわかりません。
一つ一つ考察していく必要があるのでしょうか？
よろしくお願いします。